LibrEduMethodSectionsEditionsFilesDownload

Рисунки к заданию 2. 21

1.

2.

3.

В

q

P1

P

M

2

q

M

M

40°

A

С

С

60°

В

45°

5а

D

A

B

2

3

3а

A

P

10а

2а

Q

G

4.

5.

6.

M

D

F2

Е

В

30°

B

С

A

D 45°

С

F1

B

К

30°

A

A

q

q

E

С

Р

P

Рисунки к заданию 2. 22

1.

2.

3.

P

q

3

q

A

30°

F

M

M

1

45°

К

В

A

1

B

A

30°

60°

2

Е

а

а

3а

F

60°

Q

10а

G

В

4.

5.

6.

A

A

F2

С

q

M

D

45°

D

C

С

60°

K

В

45°

F1

q

60°

D

Е

E

В

B

A

71

Рисунки к заданию 2. 23

1.

2.

3.

В

M

q

F

q

80°

M

C

C

P

A

45°

В

A

B

М

2а

30°

2а

10а

D

2

4

2

А

Q

4.			5.		6.	D
	F1			А
A						60°
	С			М		А
	К			60°
				С
						C
q	60°	F2	D	В
						30°
		M		30°		P
			В
	D			Р		В

Рисунки к заданию 2. 24

1.

2.

3.

	P	М	q		В	В	М
				q	М	80°
							С
С			В
	А	4а			45°	F
			D	А			30°	А
	а	6а
				4	3	Q

4.	F2		5.	В		6.
С 60°		D						q
	К	F1		D		A		C		60° D
M				30°				К	N	B
		В
	q
				О			60°	P
A					А

72

			Рисунки к заданию 2. 25
1.			2.			3.
				F	60°	q			В
	P1	P2	М				D		С
		q		2
									80°
						4
			В	G			Q		M
		1,5а			1,5
	а			4
								А
		4а							60°
						В
4.			5.			6.			r
		F1
									В
	С							30°
			P			D
		q							C
	К
F2	45°		В		С
		M						60°
				В	60°		A

73

3 РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ТЕЛ

Несколько тел, соединенных между собой какими-либо связями в единую механическую систему, называют системой тел или составной конструкцией.

Силы, действующие на тела системы, делятся на внешние и внут-

ренние.

Силы, с которыми на данную систему действуют тела, не входящие в эту систему, называют внешними.

Силы взаимодействия между отдельными телами системы называют

внутренними силами.

Связи также называют внутренними и внешними. Внутренние связи соединяют между собой тела системы.

Внешние связи удерживают всю конструкцию.

у

YE

ME

N K

В

YB

K

C

N C

E

E

X B

C

X E

M

В

В K C

X

F1

Y

F

A

B

N C

D

A

F1

YB

2

M

F2

D

A

х

X A

Рисунок 3.1

Рисунок 3.2

На рисунке 3.1 изображена составная конструкция из трех тел (АВ, ВС, ЕD). Связи в точках В и С являются внутренними связями. Связи в точках А, К, Е – внешние связи. На рисунке (3.2) изображены все силы, дейст-

вующие на тела системы. Силы F1 ,F2 , пара сил с моментом M − активные

внешние силы. Силы YA , X A , NК ,YE , X E и пара сил с моментом МЕ – это реакции внешних связей. Внутренние силы системы −

YB , X B ,YB , X B , NC , NC . Сумма внутренних сил системы равна нулю на основании аксиомы о равенстве сил действия и противодействия, т.е.

YB YB , XB XB , NC NC .

Задачи на равновесие системы тел решаются двумя методами.

Первый метод заключается в том, что систему разделяют (по внутренним связям) на отдельные тела и рассматривается равновесие каждого тела в отдельности с учетом внутренних сил, т.е. внутренние силы «перехо-

74

дят» в разряд реакций внешних связей. Если на систему действует плоская произвольная система сил (рисунок 3.2) и в системе три тела, то можно составить 9 уравнений равновесия.

В общем случае, если количество тел в системе принять n, то возможное количество уравнений будет 3n.

Если количество неизвестных не превышает 3n, то задача будет статически определимой. В приведенном примере 9 искомых величин, т.е. задача статически определима.

Второй метод состоит в том, что рассматривается равновесие всей конструкции, как единого твердого тела без учета внутренних сил, а затем равновесие (n – 1) тел, для которых составляется недостающее количество уравнений, учитывая внутренние силы.

Рациональный выбор метода решения зависит от конкретной задачи.

Задачи на равновесие составной конструкции рекомендуется решать в следующем порядке.

1.Понять задачу и рисунок к ней.

2.Установить тип внешних и внутренних связей.

3.Проверить статическую определимость задачи.

4.Выбрать метод решения составной конструкции и выполнить соответствующие рисунки (расчѐтные схемы), на которых указать:

заданные силы;

реакции внешних связей, а при выделении из конструкции тела и реакции внутренних связей;

систему координат, направляя оси параллельно линиям действия неизвестных сил;

5.Выбрать форму записи условий равновесия и составить уравнения равновесия в соответствии с принятым способом решения составной конструкции.

6.Решить систему уравнений относительно искомых величин в общем виде и, подставив заданные параметры, вычислить значения этих величин. Если в результате решения величина какой-либо силы окажется отрицательной, это означает, что действительное еѐ направление противоположно предварительно принятому направлению.

7.Составить проверочное уравнение моментов относительно произвольной точки с учѐтом реакций внешних связей (для всей конструкции). При правильном решении задачи уравнение обращается в тождество 0 ≡ 0.

Примечание – Во всех вариантах трением в шарнирных связях и блоках пренебречь.

75

Пример. Лестница-стремянка, состоящая из двух частей AD и BD соединенных между собой шарнирно в точке D, установлена на гладком полу. Части лестницы соединены между собой стяжкой СЕ. Вес частей лестницы соответственно Р1 = 150 Н, Р2 = 100 Н. На лестнице в точке М стоит чело-

век весом Q = 700 Н, AD = BD, AC = BE = 0,25AD, AM = 0,75AD, = 60 .

Определить усилие в шарнире D (давление одной части лестницы на

другую), натяжение стяжки СЕ и давление лестницы на пол (рисунок 3.3).

у

D

Q

D

М

M

K

N

P1

P2

C

E

RA

С

Е

RB

A

B

A

B

х

Рисунок 3.3

Рисунок 3.4

Решение.

Конструкция состоит из двух частей. Внешней связью является гладкая поверхность. Внутренние связи – шарнир в точке D и гибкая связь СЕ.

Неизвестных

величин

5 ( RA ,RB ,TCE , X D ,YD ),

т.е. достаточно составить 5

уравнений равновесия. Задача статически определимая.

Рассмотрим

равновесие всей конструкции, считая еѐ единым твер-

дым телом, т.е. в точке D жесткое скрепление. Покажем на рисунке (3.4) ре-

акции пола

R

A

и

R

B

, нагружающие силы

P , P , Q . На конструкцию

1 2

АСDЕВ действует плоская система параллельных сил, для которой достаточно двух уравнений равновесия. Запишем одну из аналитических форм условий равновесия плоской параллельной системы сил:

	n mA					n Yk
			Fk		0,		0 .
	k	1				k 1
Составим уравнения равновесия:
− Р1·АК·cos − Q·AM·cos		− P2(AD + DN)·cos					+ RB·(AD + DB)·cos = 0,
RA + RB − P1 − P2 − Q = 0.
Из первого уравнения определяется RB:
	P AK cos	Q AM cos				P	AD DN cos
1						2
RB
		AD			DB	cos

76

150

0,5

700

0, 75

100 1,5

375 Н.

2

Из второго уравнения определяется RА:

RA = P1 + P2 + Q – RA = 150 + 100 + 700 – 375 = 575 Н.

Для определения усилий во внутренних связях выделяется одна из

частей лестницы и рассматривается еѐ равно-

у

весие.

Выделим часть BD (рисунок 3.5). В

D

X D

точке Е показываем натяжение стяжки TEC ,

в

точке D – две составляющие реакции

X

D

и

YD

P

2

YD , нагружающая сила − P2 . Система сил

N

Е

плоская произвольная. Записываем три усло-

TEC

RB

вия равновесия:

х

n

X k

0,

X D

TEC

0,

B

Рисунок 3.5

k

1

n Yk

0, RB

P2

YD

0,

k

1

n

mD

Fk

0,

RB

DB cos

TEC

DE sin

P2

DN cos

0.

k

1

Из третьего уравнения определяется ТЕС:

TEC

RB

DB cos

P2

DN cos

375 0,5 100 0,5 0,5

251,93

Н.

DE sin

0, 75 0,86

Из второго уравнения определяется YD:

YD = RB – P2 = 375 – 100 = 274 H.

Из первого уравнения определяется ХD:

ХD = ТЕС = 251,93 Н.

Составляется проверочное уравнение:

n mN

Fk

0,

RB·NB·cos

− TEC·NE·sin + YD·ND·cos − XD·ND·sin

= 0,

k 1

RB·0,5·DB·cos

− TEC·0,25·DB·sin + YD·0,5·DB·cos − XD·0,5·DB·sin

= 0,

375 0,5 0,5 – 251,93 0,25 0,86 + 275 0,5 0,5 – 251,93 0,5 0,86 = 0,

0

0.

Задача решена правильно.

Ответ: RA = 575 H, RB = 375 H, TЕС = 251,93 H, XD = 251,93 H, YD = 275 H.

Задачу можно решить вторым способом, т.е. разделить лестницу на две части и составить уравнения равновесия для каждой части. Для одной

77

части DB уже составлены уравнения (рисунок 3.5). Выделяем вторую часть AD (рисунок 3.6). В точках С и D изображаем реакции направленные противоположно принятым на рисунке 3.5, т.е.:

X D X D , YD YD , TEC TEC .

Система сил плоская произвольная. Записываются три уравнения равновесия в более удобной форме:

n X k

0, TEC

X D 0,

k 1

n Yk

0, RA

P1 Q YD

0,

k 1

n mD

Fk 0, Q DM cos

P1 DK cos

TEC

DC sin

RA

AD cos

0.

k 1

у

Теперь следует решать систему из шести урав-

YD

нений, три из которых составлены к рисунку

Q

3.5

и

три

к рисунку

3.6,

добавив

D

X D

X D , YD

YD , TEC

TEC

P1

X D

M

Первые уравнения систем уравнений,

составленных для рисунков 3.5 и 3.6, идентич-

K

ны. В каждом уравнении по два неизвестных и

RA

С

это

несколько

усложняет

решение.

Следова-

TEC

х

тельно, для решения задачи предпочтительнее

A

Рисунок 3.6

способ принятый первоначально.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

По данной теме предлагается 25 вариантов по 4 задачи в каждом. Рисунки к задачам по вариантам помещены на страницах 91 – 103.

Примечание − Во всех вариантах трением в шарнирных связях и блоках пренебречь.

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

Задание 3.01

3.01.1.Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции. Р1 = 8 кН, Р2 = 10 кН, М = 25 кН м, q = 2 кН/м.

3.01.2.Однородный горизонтальный стержень АС, вес которого равен 180 Н, свободно опирается в точке С на балку ВD весом 200 Н. Определить

реакции опор, если ВD = 8 м, СD = 1/4 ВD.

78

3.01.3. Вес каждого вертикального стержня длиной а равен Р. Стержни удерживаются в равновесии шарнирными опорами А, В и невесомыми стержнями СС1 и DD1. Определить реакции опор и усилия в стержнях, если

F1 = F2, ℓ = 1 м, а = 0,5 м, КD = КD1, DС = D1С1.

3.01.4. Груз весом Q подвешен на тросе, огибающим блок D и прикреп-

ленном к стержню ВС. Определить реакцию шарнира В, если М = 4Q а, r = 1/4 a.

Задание 3.02

3.02.1.Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции, если Р1 = 30 кН, Р2 = 8 кН, М = 26 кН м, q = 2 кН/м.

3.02.2.Стержень АВ свободно опирается на вертикальный стержень СD длиной 1,8 м, жестко заделанный в основание. К середине стержня АВ приложена вертикальная сила F = 2 кН, а в точке D стержня СD сосредоточена сила Р = 1 кН. Определить реакции опор, пренебрегая весом стержней, если

ВС = ВD.

3.02.3.Два однородных стержня АВ и АС соединены между собой шарниром А и невесомым стержнем DЕ. Стержень АС в точке С закреплен шарнирно, а стержень АВ точкой В опирается на гладкую плоскость. Найти реакции плоскости и шарнира С, а также давление в шарнире А и усилие в стержне, если вес одного погонного метра стержней равен 8 кН, АВ = 8 м,

АD = 3 м.

3.02.4.На ступенчатый блок намотаны две нити. Одна из них прикреплена к шару весом Р, а другая к грузу Q. Определить вес груза, при котором система будет находиться в равновесии, и силу давления шара на гладкую стену. Радиус ступени блока r = R/2.

Задание 3.03

3.03.1.Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции, если Р1 = 20 кН, Р2 = 5 кН, М = 20 кН м, q = 10 кН/м.

3.03.2.Однородный стержень СD весом 346 Н опирается на вертикальную стойку АВ весом 123 Н. Определить реакции опор, если ВD = 2 м,

ВС = 1 м, АВ = 2 м.

3.03.3.Однородный брус АВ длиной 3м и весом 600 Н, шарнирно закрепленный в точке С, соединен нерастяжимой нитью ВD с однородным брусом

79

DL длиной 4 м и весом 900 Н, шарнирно закрепленным в точке Е; АС = ЕL = 1 м. Брус АВ опирается на гладкую плоскость, а к брусу DL прикреплена веревка, перекинутая через блок К и несущая груз Q весом 400 Н. Найти реакции плоскости, шарниров С и Е и натяжение нити ВD.

3.03.4. Труба весом 3 кН и радиусом 0,2 м удерживается в равновесии четырьмя однородными гладкими стержнями, попарно скрепленными шарнирами под углом α = 60и размещенными на одинаковых расстояниях от торцов трубы. Определить реакции шарниров А и В, если вес каждого из стержней равен 1 кН, а длина 2 м.

Задание 3.04

3.04.1.Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции, если Р1 = 10 кН, Р2 = 7 кН, М = 21 кН м, q = 3,5 кН/м.

3.04.2.Однородный брус АВ весом 400 Н опирается на однородную балку СD весом 70 Н. Определить реакции опор, если АВ = 2 м, ВD = 2 м

СВ = 0,3 м.

3.04.3.Однородная балка АВ длиной 0,7 м и весом 0,3 кН закреплена при помощи неподвижного шарнира А, а промежуточной точкой свободно опирается на однородный гладкий цилиндр весом 0,2 кН. Балка и цилиндр соединены горизонтальной веревкой ОС. Определить реакции шарнира и гладкого пола, а также натяжение веревки и давление балки на цилиндр, если

АС = 0,23 м, АО = 2ОD = 0,4 м.

3.04.4.Трос, несущий груз М, охватывает два блока с осями вращения А

иС, которые укреплены на взаимно перпендикулярных стержнях ОА и СD, соединенных шарниром D. Определить реакции опор О и В, если вес груза М равен 1 кН, ОD = 2·АD = 1 м, ВС = ВD = 0,4 м, R = 30 см, r = 20 см.

Задание 3.05

3.05.1.Найти реакции опор и давление в промежуточном шарнире составной конструкции, если Р1 = 12 кН, Р2 = 6 кН, М =18 кН м, q = 4 кН/м.

3.05.2.Однородная плита весом 80 Н, поставленная на край В балки АВ, подпирается точечной опорой С. Перпендикулярно к балке, в ее середине, приложена сила F = 100 Н. Пренебрегая весом балки, определить реакции заделки А и опоры С, если АО = 25 см, ОВ = 60 см, ВС = 40 см, СD = 10 см.

80