[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

4.Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши. Приведите примеры нарушения условий и утверждений теоремы.

Ответ:

Рассмотрим задачу Коши

~y	0	~
		= f(x; ~y) ;

Теорема Пикара утверждает:

~

~y(x0) = b :

Если функция f~ непрерывна и равномерно по x липшицева по ~y, то в некоторой окрестности начальной точки задачи Коши последняя имеет и при том единственное решение.

При этом f~ равномерно по x липшицева по ~y, если

~	~	~y2j ;
jf(x; ~y1) f(x; ~y2)j 6 kj~y1

где k не зависит от x. Например, для равномерной липшицевости достаточно, чтобы функция f~(x; ~y) была ограниченно дифференцируема по ~y.

В качестве примера рассмотрим уравнение

y0 = 2 xy :

Все его решения имеют вид y = Cx2. Ясно, что решения, удовлетворяющего начальному условию y(0) = 1, не существует. Далее, взяв начальное условие вида y(1) = 1 мы видим, что функции, определенные равенством

	(
y =	Cx2		;	x < 0;
	2	;		x		0 ;
	x				>

являются решением рассматриваемой задачи Коши. Таким образом, нарушается как существование, так и единственность решения задачи Коши, что связано с невыполнением

99

условий теоремы Пикара — функция в правой части не является непрерывной.

Второй пример, в котором нарушается липшицевость правой части имеет вид

y0 = 3y2=3 ; y(0) = 0 ;

Это уравнение кроме нулевого имеет решение y = x3. Нарушена единственность.

100

5.Что такое особое решение дифференциального уравнения? Дайте примеры.

Ответ:

В случае уравнения

F (x; y; y0) = 0

можно показать, что если кривая x = x(t) ; y = y(t); z = z(t) лежит на поверхности F (x; y; z) = 0, причем в точках этой кривой выполнены соотношения

@F	= 0 ;	@F	+ z	@F	= 0 ;	@F	= 0 ;
@z		@x		@y		@y	6

то кривая x = x(t) ; y = y(t) является интегральной для рассматриваемого уравнения. Это решение и называется особым. Как правило, такое решение является огибающей некоторого семейства решений уравнения. Например, в случае уравнения Клеро

y = xy0 '(y0)

особое решение существует и определяется системой

(x = '0(z)

y = '0(z)z '(z) :

Оно является огибающей семейства решений y = xC '(C).

101