[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

разрешающего оператора линейной системы с постоянными коэффициентами.

77.В чем состоит геометрический смысл дифференциального уравнения 1-ого порядка и задачи Коши?

78.Что такое уравнение с разделяющимися переменными? Что такое деление переменных? Что такое однородные уравнения? Как они сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными?

79.В чем состоит метод ломаных Эйлера? Сформулируйте теорему Пеано существования решения задачи Коши.

80.Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши. Приведите примеры нарушения условий и утверждений теоремы.

81.Что такое особое решение дифференциального уравнения? Дайте примеры.

9

Ответы на вопросы

3 Кратные и криволинейные интегралы

3.1Кратные интегралы

1.Что такое двойной интеграл? Перечислите его основные свойства.

Ответ:

Определим сначала двойной интеграл от функции f(x; y) по прямоугольнику D. Пусть — разбиение прямоугольника, получающееся дроблением его сторон. Для ячейки A разбиения положим

mA = inf f ; MA = sup f
A	A

и введем нижнюю и верхнюю суммы Дарбу

(f; ) = mAS(A) ; (f; ) = MAS(A) ;

где S(A) — площадьX ячейки A. При продолженииX разбиения нижняя сумма Дарбу может лишь увеличиться, а верхняя

— лишь уменьшиться. Если

sup (f; ) = inf (f; ) ;

то их общее значение называется двойным интегралом от f по прямоугольнику D и обозначается

ZZD f(x; y) dxdy = ZZD f dS :

Интеграл от функции f по произвольному плоскому множеству определяется равенством

ZZ f dS = ZZD f dS ;

10

где — характеристическая функция множества :

	(
(x; y) =	1 ;		(x; y) 2
	0	;	(x; y) =	;
			2

а D — прямоугольник, содержащий . Основные свойства двойного интеграла — его линейность, аддитивность и монотонность:

1)	ZZ	( f + g) dS = ZZ					f dS + ZZ		g dS ;
	;		– постоянные ;
	ZZ1 2			ZZ1		ZZ2
2)		f dS =		f dS +			f dS ;		1 \ 2 = ?;
	[
3)	f 6 g		)	ZZ	f dS	6 ZZ		g dS :

11

2.Что такое тройной интеграл ? Перечислите его основные свойства.

Ответ:

Определим сначала тройной интеграл от функции f(x; y; z) по прямоугольному параллелепипеду (брусу) D. Пусть — разбиение бруса, получающееся дроблением его ребер. Для ячейки A разбиения положим

mA = inf f ;	MA = sup f
A	A
и введем нижнюю и верхнюю суммы Дарбу
(f; ) = mAV (A) ;	(f; ) = MAV (A) ;

где V (A) — объемX ячейки A. При продолженииX разбиения нижняя сумма Дарбу может лишь увеличиться, а верхняя

— лишь уменьшиться. Если

sup (f; ) = inf (f; ) ;

то их общее значение называется тройным интегралом от f по брусу D и обозначается

ZZZD fdV = ZZZD f(x; y; z) dxdydz :

Интеграл от функции f по произвольному множеству определяется равенством

ZZZ f dV = ZZZD f dV ;

где — характеристическая функция множества :

	(
(x; y) =	1 ;		(x; y) 2
	0	;	(x; y) =	;
			2

12

а D — брус, содержащий . Основные свойства тройного интеграла — его линейность, аддитивность и монотонность:

1)	ZZZ	( f + g) dV = ZZZ				f dV + ZZZ		g dV ;
	; – постоянные ;				ZZZ2
2)	ZZZ1 2	f dV =	ZZZ1	f dV +			f dV ;	1 \ 2 = ?;
	[
3)	f 6 g	) ZZZ		f dV 6 ZZZ			g dV :

13

3.Как свести двукратный интеграл к повторному?

Ответ:

Сведение двукратного интеграла к повторному обеспечивается теоремой Фубини.

Если f(P; Q) — функция, интегрируемая на A B, где A и B

— брусы, и если при всех P 2 A функции f(P; Q) переменной

Q 2 B интегрируемы на B, то функция g(P ) = RB f(P; Q) dQ интегрируема на A, причем

AZZB f(P; Q) dP dQ = ZA dP BZ dQ f(P; Q) :

Если область интегрирования функции не является брусом, для применения теоремы Фубини подынтегральную функцию продолжают нулем за пределы области и интегрируют продолженную функцию по любому брусу, содержащему исходную область интегрирования. Например, для цилиндрической области вида

= f(x; y)j a 6 x 6 b ; '(x) 6 y 6 (x)g

описанная процедура даст

	f(x; y) dxdy = Za b	(x)
ZZ		dx Z dy f(x; y) :
		'(x)

14

4.Что такое аддитивная функция множества? Как определяется ее плотность. Как аддитивную функцию восстановить по плотности?

Ответ:

Аддитивная функция множества (A) обладает тем свойством, что если A1 \ A2 = ?, то

(A1 [ A2) = (A1) + (A2) :

Будем рассматривать только регулярные аддитивные функции, т.е. такие, которые определены на жордановых множествах и обладают свойством

V (A) = 0 ) (A) = 0 ;

где V (A) — объем множества A.

Плотность аддитивной функции '(P ) это такая функция точки, значение которой в точке P получается как следующий предел

'(P ) = lim (An) ;

n!1 V (An)

где An последовательность множеств, стягивающаяся к точке P , если этот предел не зависит от выбора последовательности An. Стягивающаяся к точке P последовательность состоит из жордановых множеств ненулевого объема, содержащих точку P и с некоторого номера содержащихся в произвольно малой окрестности точки P .

Если ' — непрерывная плотность аддитивной функции , то сама аддитивная функция может быть восстановлена при помощи интегрирования:

(A) = Z '(P ) dP :

A

15

5.Что такое матрица Якоби и якобиан отображения R3 ! R3? Их геометрический смысл.

Ответ:

Функция y = (x) : R3 ! R3 ; называется дифференцируемой в точке x, если

(x + h) (x) = x0 (h) + o(jhj) ;

jhj ! 0 ;

где x0 — некоторое линейное отображение, называемое производной функции в точке x. Матрица этого отображения и называется матрицей Якоби. Столбцами ее служат векторы

			0	@y1	1
	@			@xj
		=		@y2		:
	@xj			@xj
				@y3
			@		A
			B@xj		C

Определитель матрицы Якоби называется якобинаном

det 0 = det @yi = D(y1; y2; y3) ; @xj D(x1; x2; x3)

это скалярная функция точки.

Матрица Якоби в точке x определяет главную линейную часть искажения при отображении бесконечно малого вектора с началом в точке x, тем самым она определяет линейную часть искажения бесконечно малого бруса, построенного на векторах с началом в точке x. Коэффициент искажения объема для такого бруса равен абсолютной величине якобиана отображения в этой точке (геометрический смысл).

16

6.Опишите формулу замены переменных в кратном интеграле.

Ответ:

Пусть B — брус (прямоугольный параллелепипед) в Rn, на котором определено непрерывно дифференцируемое отображение : B ! Rn, обратимое внутри B и с якобианом det 0, не обращающимся в ноль нигде внутри B. Пусть, далее, f — функция, интегрируемая на (B). Тогда

Z	f dS = Z f j det 0j dS
(B)	B

или, в координатном виде,

Z	f(x1; : : : xn) dx1 : : : dxn
(B)
= BZ	f(x1(u1; : : : un); : : : xn(u1; : : : un))	D(x1; : : : xn)	du1 : : : dun
		D(u1; : : : un)

Ограничение области интегрирования криволинейных координат (u1; : : : un) брусом не существенно, поскольку функция f не предполагается непрерывной.

Формула отражает тот факт, что при замене переменных коэффициент искажения объема равен абсолютной величине якобиана замены переменных.

17

7.Как выглядит двукратный интеграл в полярных координатах? Дайте пример.

Ответ:

Полярные координаты (r; ') связаны с декартовыми (x; y) равенствами

x = r cos ' ;	y = r sin ' ;		r	>	0 ; ' 2 [0; 2 ):
Якобиан замены переменных равен
D(x; y) =		cos'	r sin '		= r :
D(r; ')		sin '	r cos '

Поэтому формула замены переменных в двойном интеграле примет вид

ZZD f(x; y) dxdy = ZZB f(r cos '; r sin ') r drd'

где D образ области B изменения полярных координат.

Вычислим, например, интеграл RR x dxdy по половинке круга x2 +y2 6 4 ; x 6 y. В полярных координатах область интегрирования описывается неравенствами: r 6 2 ; =4 6 ' 6 5 =4. Тогда

		5 =4	2	8	p
						2
ZZ	x dxdy = ZZ	r2 cos ' drd' = Z cos ' d' Z0	r2 dr =				:
					3
D	B	=4

18