[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

3.4Векторные поля в пространстве

1.Что такое градиент функции? Явная формула в декартовых координатах.

Ответ:

В евклидовом пространстве (т.е. на пространстве со скалярным произведением) каждой линейной функции может быть взаимно однозначно сопоставлен вектор. В частности, если

— 1-форма на евклидовом пространстве, то ей отвечает вектор a такой, что

(b) = a b ;

8b :

Градиентом функции f называется векторное поле, которое по описанному правилу соответствует дифференциалу функции:

df(b) = grad f	b ;		8b :
Выбирая здесь в качестве b базисные векторы i; j; k найдем,
что в декартовых координатах
@f	@f		@f
grad f = @x	; @y	;	@z :

69

2.Что такое ротор векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах? В чем состоит физический смысл ротора?

Ответ:

Ротор векторного поля может быть определен только в трехмерном евклидовом пространстве. В декартовых координатах ротор векторного поля F = (P; Q; R) может быть получен по формуле

		i		j		k	= @R @Q; @P @R; @Q @P
	rot F =	@		@		@		:
		@x		@y		@z
							@y @z @z @x @x @y
		P	Q			R

Инвариантно ротор может быть описан благодаря формуле Стокса, откуда

(rot F		n)(M) = lim	@		F dl	:
		!M HS( )

Здесь — кусок поверхности, стягивающийся к точке M, S( ) — площадь , n — единичный вектор нормали к поверхности , определяющий ее ориентацию. Таким образом, поверхностная плотность циркуляции поля по бесконечно малой окружности равна проекции ротора на нормаль к данной окружности (физический смысл ротора).

Ротор также может быть описан на языке форм. Если F = P dx + Q dy + R dz — 1-форма, отвечающая вектору F, то ее внешний дифференциал даст форму потока ротора:

{rot F = dF ; = dx ^ dy ^ dz ;

— координаты dF в базисе dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy совпадают с координатами ротора.

70

3.Что такое дивергенция векторного поля? Дайте явную формулу в декартовых координатах. В чем состоит физический смысл дивергенции.

Ответ:

В декартовых координатах дивергенция векторного поля F = (P; Q; R) определяется как функция

div F = @P@x + @Q@y + @R@z :

Инвариантное определение дивергенции вытекает из формулы Гаусса–Остроградского, откуда

div F(M) = lim @RR F n dS :!M V ( )

Здесь — связная область с гладкой границей, стягивающаяся к точке M, V ( ) — объем , n — единичный вектор внешней нормали к границе области . Таким образом, дивергенция это объемная плотность потока вектора через границу области (физический смысл).

Дивергенция может быть охарактеризована также на языке форм. Внутреннее произведение вектора F на форму объема= dx ^ dy ^ dz превращает вектор F в 2-форму — форму потока вектора F. Ее внешний дифференциал есть 3-форма, пропорциональная форме . Коэффициент пропорциональности и есть дивергенция:

d{F = d(P dy ^ dz + Q dz ^ dx + R dx ^ dy) = div F :

71

4.Определение оператора Лапласа, явная формула в декартовых координатах.

Ответ:

Оператор Лапласа функции f нескольких переменных определяется равенством

f = div grad f :

В декартовых координатах в случае функции трех переменных

@f

@f

@f

@P

@Q

@R

grad f = @x

;

@y

;

@z ;

div (P; Q; R) =

@x

+

@y

+

@z

;

откуда

f =

@2f

+

@2f

+

@2f

:

@x2

@y2

@z2

72

5.Что такое оператор "набла"?

Ответ:

Оператор Гамильтона набла r является векторнозначным дифференциальным оператором вида

r = @x@ ; @y@ ; @z@ :

Он определен только для случая декартовых координат, но в этом случае представляет удобную символическую технику вычисления. Например, стандартные операции векторного анализа при помощи набла запишутся в виде

grad f = rf ; div F = r F ; rot F = r F ;

f = r2f ;

div rot F = r (r F) = 0 ; rot grad f = r rf = 0 :

Для удобства вычислений играет важную роль тот факт, что как всякое дифференцирование оператор набла подчиняется правилу Лейбница дифференцирования произведений. Например,

div (fF) = r (fF) = rf F + fr F = grad f F + fdiv F :

73

6.Что такое коэффициенты Ламе? Чему равны коэффициенты Ламе для сферических координат?

Ответ:

Если функция определяет замену переменных x = (u) в пространстве, то векторы–столбцы матрицы Якоби 0:

@ ; : : : @ ; @u1 @un

имеют смысл скоростей координатных кривых (в пространстве x-ов) криволинейных координат u = (u1; : : : un). Если эти векторы (в каждой точке) ортогональны между собой, то криволинейные координаты (u1; : : : un) называются ортогональными. В этом случае длины упомянутых векторов– скоростей называются коэффициентами Ламе:

	@	2	@xn	2
		@x1		:
hi =	@ui	= s @ui + : : : +	@ui
В частности,
		j det 0j = h1 : : : hn :
В случае сферической системы координат
x = r cos ' sin ; y = r sin ' sin ;			z = r cos ;
откуда

hr = j(cos' sin ; sin ' sin ; cos )j = 1 ;

h = j(r cos ' cos ; r sin ' cos ; r sin )j = r ; h' = j( r sin ' sin ; r cos ' sin ; 0)j = r sin :

74

7.Чему равен оператор Лапласа в ортогональных криволинейных координатах? Какой смысл имеют коэффициенты Ламе?

Ответ:

Пусть отображение определяет замену переменных (x1; x2; x3) =

(u1; u2; u3) и криволинейные координаты (u1; u2; u3) ортогональны. Обозначим коэффициенты Ламе через hi:

			hi =		@		:
						@ui
Векторы
si =	1		@	;			i = 1; 2; 3;
	hi @ui

образуют (в каждой точке) ортонормированный базис. Дуальные к ним базисные формы будут i = hi dui. Поэтому

df(

u

) =

@f

dui =

1

@f

i

)

@ui

hi @ui

X 1

X

@f

grad f =

X

si :

hi

@ui

и {F =

Далее, = 1 ^ 2 ^ 3

= h1h2h3 du1 ^ du2 ^ du3

F1 2 ^ 3 + F2 3 ^ 1 + F3 1 ^ 2, откуда

d({F ) =

@(F1h2h3)

+

@(h1F2h3)

+

@(h1h2F3)

du1

^ du2 ^ du3

@u1

@u2

@u3

= div F ;

следовательно,

1

@ h1h2h3

div

F

=

hi

Fi

h1h2h3

@ui

X

и, в силу f = div grad f,

f =

1

X

@

h1h2h3

@f

:

hi2

h1h2h3

@ui

@ui

75

8.Что такое потенциальное векторное поле и как найти его потенциал?

Ответ:

Поле F называется потенциальным, если его ротор равен нулю: rot F = 0. Например, поле градиента является потенциальным: rot grad f = 0. Локально верно и обратное, при этом функция f называется потенциалом поля F, если F = grad f. Потенциал определен неоднозначно.

Если F — 1-форма, соответствующая полю F (т.е. F = P dx + Q dy + R dz при условии, что F = (P; Q; R)), то потенциальность поля F эквивалентна замкнутости формы F: dF = 0. Замкнутые формы локально точны (т.е. являются дифференциалами функций) и их потенциал в окрестности произвольной точки (x0; y0; z0) из области определения можно найти по формуле

(x;y;z)

f(x; y; z) =(x0;yZ0;z0) F ;

где путь, соединяющий точки, можно выбирать произвольно в окрестности рассматриваемой точки. Функция f будет одновременно являться потенциалом поля F (в окрестности рассматриваемой точки).

76

9.Что такое соленоидальное векторное поле и как найти его векторный потенциал?

Ответ:

Поле F называется соленоидальным, если его дивергенция равна нулю: div F = 0. Поле ротора является соленоидальным: div rot G = 0. Локально верно и обратное, при этом, если F = rot G, поле G называется векторным потенциалом поля F. Потенциал определен неоднозначно.

Пусть = dx ^ dy ^ dz — стандартная форма объема пространства. Она позволяет полю F поставить в соответствие 2-форму потока этого поля:

' = {F = P dy ^ dz + Q dz ^ dx + R dx ^ dy ;

где F = (P; Q; R). Соленоидальность поля F эквивалентна замкнутости формы ': d' = 0. Замкнутая форма локально точна, т.е. в окрестности произвольной точки из области определения является дифференциалом 1-формы, называемой ее потенциалом: ' = d . 1-форма может быть восстановлена по формуле Пуанкаре. В окрестности нуля она имеет вид

= Z0	1	dt t[P (tx; ty; tz)(y dz z dy)
+ Q(tx; ty; tz)(z dx x dz) + R(tx; ty; tz)(x dy y dx)]
			Z0	1	dx	dy	dz
		=			dt P (tx; ty; tz)	Q(tx; ty; tz)	R(tx; ty; tz) :
					tx	ty	tz

Векторное поле G, отвечающее 1-форме при замене базиса (dx; dy; dz) базисом (i; j; k), и будет являться векторным потенциалом поля F. В окрестности нуля

G(x; y; z) = Z1 F(tr) tr dt ; r = (x; y; z) :

0

77

4Дифференциальные уравнения

4.1Линейные дифференциальные уравнения

1.Как получить общее решение линейного дифференциального уравнения 1-ого порядка? Дайте формулу для решения задачи Коши.

Ответ: Линейное дифференциального уравнение 1-ого порядка это уравнение вида

y0 + p(x)y = q(x);

где x меняется на некотором интервале, а функции p и q непрерывны на этом интервале.

Общее решение этого уравнения можно получить как сумму частного его решения и общего решения однородного уравнения

y0 + p(x)y = 0:

Общее решение однородного уравнения имеет вид

Y (x) = Ce P (x) ;

где P — первообразная функции p. Частное решение неоднородного уравнения можно искать методом Бернулли (вариации произвольной постоянной), т.е. в виде

y(x) = u(x)e P (x) :

Решение задачи Коши

	(
		y0 + p(x)y = q(x) ;
		y(x0) = y0 ;
дается формулой
y(x) = 0y0	x q(t)		R	p(t) dt
		v(t) dt1v(x) ;	x
	+ xZ0		v(x) = e x0	:
@		A

78