[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

2.Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения 2-ого порядка?

Ответ:

Линейное дифференциального уравнение 2-ого порядка это уравнение вида

y00 + p1(x)y0 + p0(x)y = q(x);

(1)

где x меняется на некотором интервале, а функции p0; p1 и q непрерывны на этом интервале.

Множество решений однородного уравнения

y00 + p1(x)y0 + p0(x)y = 0

(2)

является двумерным линейным пространством, то есть может быть описано как семейство функций вида

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x);

где y1; y2 — базис в пространстве решений или, что то же, фундаментальная система решений.

Общее решение неоднородного уравнения является суммой частного решения y неоднородного уравнения и общего решения Y однородного уравнения:

y(x) = y (x) + Y (x) ; Y (x) = C1y1(x) + C2y2(x):

79

3.Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения 2-ого порядка?

Ответ:

Вронскиан двух дифференцируемых функций y1 и y2 определяется как функция вида

W [y1; y2] =	y1	y2	0	(x)		0	(x):
	0	0	= y1(x)y2			y2(x)y1
	y1	y2

Если функции y1; y2 линейно зависимы, их вронскиан равен тождественно нулю. Если эти функции являются решениями линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 ;

верно и обратное. Более того, если определитель Вронского решений этого уравнения равен нулю хотя бы в одной точке, то решения линейно зависимы. Если вронскиан решений не равен нулю хотя бы в одной точке, то он не равен нулю везде и решения будут линейно независимы на любом интервале в области непрерывности коэффициентов рассматриваемого уравнения.

Имеет силу также следующая формула Лиувилля

x
R	p(t)dt
W (x) = W (x0)e x0	:

80

4.Как найти общее решение линейного однородного уравнения 2-ого порядка, если известно одно его частное решение?

Ответ:

Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид

y00 + p(x)y0 + q(x)y = 0 :

Если y1 известное нетривиальное его решение, второе решение, линейно независимое с y1, может быть найдено по формуле

y2(x) = y1(x) Z	W (x)			R p(x) dx ;
	y12(x) dx ;	W (x) = e

здесь W (x) — определитель Вронского решений y1; y2, построенный по формуле Лиувилля. Общее решение уравнения запишется в виде

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) :

81

5.Как найти решение линейного неоднородного уравнения 2-ого порядка, если известно общее решение однородного уравнения?

Ответ:

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

y00 + p1(x)y0 + p0(x)y = q(x) ;

где x изменяется на некотором интервале и функции p0; p1 и q непрерывны на этом интервале. Если

Y(x) = C1v1(x) + C2v2(x)

—общее решение однородного уравнения

y00 + p1(x)y0 + p0(x)y = 0 ;

частное решение неоднородного можно искать методом вариации постоянных в виде

y(x) = u1(x)v1(x) + u2(x)v2(x) ;

налагая на функции u1; u2 ограничение

u01(x)v1(x) + u02(x)v2(x) = 0 :

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид

y(x) =	x v1(t)v2(x) v1(x)v2(t) q(t) dt + Y (x) ;
	Zx0	W [v	; v	](t)
		1	2

где W [v1; v2](x) = y1(x)y20 (x) y2(x)y10 (x) — вронскиан решений однородного уравнения и x0 — произвольная фиксирован-

ная точка интервала, на котором рассматривается уравнение.

82

6.Что можно сказать о структуре множества решений однородного и неоднородного линейного дифференциального уравнения n - ого порядка?

Ответ:

Линейное дифференциального уравнение n-ого порядка имеет вид

y(n) + pn 1(x)y(n 1) + : : : + p0(x)y = q(x);	(3)
где x меняется на некотором интервале и	функции
p0; : : : pn 1; q непрерывны на этом интервале.

Множество решений однородного уравнения — т.е. уравнения с q(x) 0 — является линейным пространством размерности n. Как следствие, общее решение однородного уравнения записывается как семейство функций вида

Y (x) = C1y1(x) + : : : + Cnyn(x);

где y1; : : : yn образуют базис в пространстве решений, называемый также фундаментальной системой решений.

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид суммы частного решения y неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения:

y(x) = y (x) + Y (x):

83

: : : y(n 1)

n

7.Что Вы знаете о вронскиане для дифференциального уравнения n - ого порядка?

Ответ:

Линейное однородное дифференциальное уравнение n- порядка имеет вид

y(n) + pn 1(x)y(n 1) + : : : + p0(x)y = 0 :

Функции pk считаются непрерывными на некотором интервале. На этом же интервале рассматриваются решения этого уравнения. Пусть y1; : : : yn — решения уравнения. Определителем Вронского (вронскианом) этих решений называется функция W (x), определенная формулой

	y1	: : :	yn
	y0	: : :	y0
W (x) =	1		n
	.		.
	.	: : :	.	:
	.		.

y1(n 1)

Если рассматриваемые решения линейно зависимы, их вронскиан тождественно равен нулю. Если вронскиан решений равен нулю в одной точке, то он равен нулю тождественно и решения являются линейно зависимыми. Решения будут линейно независимы, если вронскиан их не будет нулем хотя бы в одной точке. В этом случае он будет не равен нулю везде, что можно увидеть, например, из формулы Лиувилля

x
R	pn 1(t) dt
W (x) = W (x0)e x0	:

84

8.Дать формулу общего решения дифференциального уравнения вида (D k1)r1 (D k2)r2y = 0:

Ответ:

Общее решение данного уравнения имеет вид суммы общих решений простых уравнений

(D k1)r1 y = 0 и (D k2)r2 y = 0 :

Таким образом, общее решение рассматриваемого уравнения запишется как

y(x) = Pr1 1(x)ek1x + Pr2 1(x)ek2x ;

где функции Pr1 1(x); Pr2 1(x) имеют вид многочленов степеней, соответственно, (r1 1) и (r2 1) с произвольными коэффициентами:

Pr1 1(x) = C1xr1 1+: : :+Cr1 ; Pr2 1(x) = Cr1+1xr2 1+: : :+Cr1+r2 :

85

9.В чем состоит метод неопределенных коэффициентов для линейного дифференциального уравнения n - ого порядка?

Ответ:

Рассматривается линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными (вещественными) коэффициентами

Pn(D)y = f(x) :

Если правая часть в этом уравнении имеет вид произведения многочлена на экспоненту (возможно, с комплексным показателем) f(x) = Qm(x)e x, то частное решение рассматриваемого уравнения можно искать методом неопределенных коэффициентов. Именно, если число является корнем кратности k характеристического уравнения Pn(z) = 0 (кратность 0 соответствует случаю, когда Pn( ) 6= 0), то частное решение дифференциального уравнения можно искать в виде

y = xkSm(x)e x

где Sm — многочлен степени m, коэффициенты в котором подлежат определению.

Если правая часть имеет вид

f(x) = Qm(x)e x cos( x) + Rl(x)e x sin( x) ;

то в согласии с принципом суперпозиции решение можно искать в виде

y = xke x[U(x) cos( x) + V (x) sin( x)] ;

где k — кратность корней ( i ) для символа Pn(z), а U; V

— многочлены с неопределенными коэффициентами степени maxfm; lg.

86

10.Что такое линейная система двух дифференциальных уравнений 1-ого порядка и что можно сказать о структуре множества решений этой системы, однородной и неоднородной? Как такая система связана со скалярным уравнением?

Ответ:

Система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид

(y10 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + f1(x) ; y20 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + f2(x) ;

или, в матричной форме, ~y 0 = A(x)~y + f~(x). Если f~ = ~0, система называется однородной.

Множество решений однородной системы является двумерным векторным пространством, так что общее ее решение имеет вид

~y = C1~y1 + C2~y2 ;

где ~y1; ~y2 — базис в пространстве решений (фундаментальная система решений).

Общее решение неоднородного уравнения имеет вид суммы частного его решения и общего решения однородного уравнения:

~y = ~y + C1~y1 + C2~y2 :

Линейное уравнение 2-го порядка

y00 + p1(x)y0 + p0(x)y = q(x)

всегда можно свести к системе:

(y10 = y2 ;

y20 = p0(x)y1 p1(x)y2 + q(x) :

Система уравнений не всегда может быть сведена к скалярному уравнению. Но, например, если коэффициенты a11; a12

87

дифференцируемы и a12 =6 0, то из первого уравнения можно выразить y2 и подставить его во второе уравнение, получая скалярное линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка для y1.

88