[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

5.Что такое согласованные ориентации области и ее границы в трехмерном пространстве?

Ответ:

Ориентация связной области D пространства R3 определяется как ориентация самого пространства R3, т.е. выбором класса эквивалентных между собой базисов. При этом, два базиса векторов в R3 считаются эквивалентными, если переход от одного из них к другому осуществляется матрицей перехода, имеющей положительный определитель.

Будем считать, что граница @D области D является кусочно гладкой замкнутой поверхностью. Как двусторонняя поверхность в R3 она обязательно ориентируема. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов ( 1; 2) в некоторой не угловой точке поверхности.

Пусть n — вектор внешней нормали к @D. Ориентация границы области D считается согласованной с ориентацией самой области, если базис векторов (n; 1; 2) в некоторой точке @D задает ориентацию D, в то время как векторы ( 1; 2) определяют ориентацию @D.

Это соглашение, в частности, означает, что если ориентация границы области задается вектором нормали, то согласованную ориентацию задает всегда вектор внешней нормали. Впрочем, это будет не так, если определение ориентации поверхности по ее стороне (т.е. по нормали) согласовывать не с положительной ориентацией пространства, а со стандартной (выделенной) ориентацией пространства, если такая имеется, как, например, в R3.

49

6.Какие дифференциальные формы бывают в трехмерном пространстве? Их интерпретация.

Ответ:

В пространстве R3 можно рассматривать рассматривают 0- формы, 1-формы, 2-формы и 3-формы.

0-формы это просто функции, заданные на подмножествах из R3 и принимающие числовые значения.

1-формы это линейные функции на R3 с коэффициентами, зависящими от точки (более аккуратно, — это функции, определенные на подмножествах из R3 и принимающие значения в пространстве линейных функций на R3). Если x; y; z — координаты в R3, то 1-форма имеет вид

! = A(x; y; z) dx + B(x; y; z) dy + C(x; y; z) dz ;

где dx; dy; dz — базис в пространстве линейных функций. Они определены формулами

dx(v) = v1 ; dy(v) = v2 ; dz(v) = v3 ; v = (v1; v2; v3) ;

т.е. это проекции на оси координат.

2-формы это билинейные антисимметричные функции с коэффициентами, зависящими от точки. 2-форма имеет вид

! = A(x; y; z) dy ^ dz + B(x; y; z) dz ^ dx + C(x; y; z) dx ^ dy ;

где dy^dz; dz^dx; dx^dy — базис в пространстве билинейных антисимметричных функций. Они определены равенствами

dy ^ dz(u; v) =	u2	v2	;
	u3	v3
	dz ^ dx(u; v) =			u3	v3	;
				u1	v1
				dx ^ dy(u; v) =			u1 v1	;
							u2 v2
			50

где u = (u1; u2; u3) ; v = (v1; v2; v3). Как видим, их значения на векторах u; v с точностью до знака равно площади проекций параллелограмма, построенного на этих векторах, на соответствующие координатные плоскости. С физической точки зрения величина !(u; v) трактуется как поток вектора F = (A; B; C) через параллелограмм, натянутый на вектора u и v.

3-форма — это заданная в точках пространства антисимметричная функция трех векторных аргументов, линейная по каждому векторному аргументу. 3-форма имеет вид

! = f(x; y; z) dx ^ dy ^

где

u1 dx ^ dy ^ dz(u; v; w) = u2 u3

dz ;
v1	w1
v2	w2	:
v3	w3

Базисная 3-форма dx ^ dy ^ dz с точностью до знака вычисляет объем параллелепипеда, построенного на векторах– аргументах. Знак 3-формы определяет ориентацию соответствующих векторов.

51

7.Какие алгебраические операции над дифференциальными формами в пространстве Вы знаете?

Ответ:

К алгебраическим операциям над формами относятся сложение форм, умножение их на функции и внешнее умножение форм.

Сложение форм одного порядка и их умножение на числовую функцию определяется стандартно и могут быть интерпретированы как сложение векторов и умножение вектора на число. Например, умножение 1-формы

! = A(x; y; z) dx + B(x; y; z) dy + C(x; y; z) dz

на функцию f(x; y; z) даст 1-форму

f! = f(x; y; z)A(x; y; z) dx

+ f(x; y; z)B(x; y; z) dy + f(x; y; z)C(x; y; z) dz :

Внешнее умножение ^ форм определяется по линейности с учетом следующих соглашений. Если 1; : : : k; 1; : : : m — 1-формы, то 1 ^ : : : ^ k — k-форма вида

1 ^ : : : ^ k(v1; : : : vk) = det( i(vj))

и

( 1 ^ : : : ^ k) ^ ( 1 ^ : : : ^ m) = 1 ^ : : : ^ k ^ 1 ^ : : : ^ m :

В трехмерном случае это ведет к равенствам

(A dx+B dy+C dz)^(P dx+Q dy+R dz) =		dy ^ dz	dz ^ dx	dx ^ dy
		A	B	C
		P	Q	R
и
	(A dx + B dy + C dz) ^ (P dy ^ dz + Q dz	^ dx + R dx ^ dy)
	= (AP + BQ + CR) dx ^ dy ^ dz :

52

8.Что такое внешний дифференциал формы в пространстве?

Ответ:

Если ! — дифференциальная k-форма, ее внешний дифференциал обозначается через d! и является формой порядка k +1. Эта форма определяется следующим образом. Внешний дифференциал 0-формы f есть дифференциал функции f:

df = @f@x dx + @f@y dy + @f@z dz :

Внешний дифференциал 1-формы ! = P dx + Q dy + R dz есть 2-форма вида

d! = dP	^	dx+dQ	^	dy +dR	^	dz =	dy ^@	dz	dz ^@ dx	dx ^@	dy
							@x		@y	@z	:
							P		Q	R

Внешний дифференциал 2-формы ! = P dy ^ dz + Q dz ^ dx +

R dx ^ dy равен

d! = dP ^ dy ^ dz + dQ ^ dz ^ dx + dR ^ dx ^ dy

= @P@x + @Q@y + @R@z dx ^ dy ^ dz :

Внешний дифференциал 3-формы (в R3) равен нулю.

Внешнее дифференцирование является линейной операцией и удовлетворяет правилу Лейбница

d( ^ ) = (d ) ^ + ( 1)k ^ (d ) ;

где k — порядок формы .

53

9.Что такое внутреннее произведение формы на вектор?

Ответ:

Если ! — дифференциальная k-форма, ее внутреннее произведение на вектор v = (v1; v2; v3) обозначается через {v! и является формой порядка k 1. Эта форма определяется следующим образом. Внутреннее произведение 0-формы f на v есть 0. Внутреннее произведение 1-формы ! = P dx + Q dy + R dz на v есть 0-форма вида

{v! = Pv1 + Qv2 + Rv3 = !(v) :

Внутреннее произведение 2-формы ! = P dy ^dz +Q dz ^dx+ R dx ^ dy на v равно 1-форме

{v! = Pv2 dz Pv3 dy + Qv3 dx Qv1 dz + Rv1 dy	Rv2 dx
dx	dy	dz
= P	Q	R	:
v1 v2 v3
Внутреннее произведение 3-формы ! = f dx ^ dy ^ dz на			v
равно 2-форме

{v! = fv1dy ^ dz fv2dx ^ dz + fv3dx ^ dy :

Внутреннее произведение ! на v можно определить как новую функцию векторных аргументов, которая получается из функции !, если первый векторный аргумент функции ! фиксировать как вектор v.

Внешнее умножение является линейной операцией и удовлетворяет правилу Лейбница

{v( ^ ) = ({v ) ^ + ( 1)k ^ ({v ) ;

где k — порядок формы .

54

10.Поверхностный интеграл 2-ого рода: интеграл от 2-формы по поверхности, определение.

Ответ:

Будем считать, что гладкая поверхность G в R3 задается параметрически вектор–функцией : D ! R3, определенной на плоском множестве D, причем rank 0 = 2 (столбцы в матрице Якоби линейно независимы). Координаты на D обозначим через u и v, они называются локальными координатами на поверхности G. Функцию называют параметризацией поверхности G. Вводя стандартные координаты (x; y; z) в R3, определим функцию равенствами

x = x(u; v) ; y = y(u; v) ; z = z(u; v) :

Под ориентацией поверхности G будем понимать ориентацию области изменения локальных координат — ориентацию области D. Последняя определяется порядком локальных координат, пусть это будет именно (u; v). Рассмотрим 2-форму

!

! = A(x; y; z) dy ^ dz + B(x; y; z) dz ^ dx + C(x; y; z) dx ^ dy ;

считая, что коэффициенты A; B; C заданы в точках поверхности G. Сужением формы ! на параметризованную поверхность G называется 2-форма

! = f(u; v) du ^ dv ;

где

f(u; v) = A(x(u; v); y(u; v); z(u; v)) D(y; z)

D(u; v)

+ B(x(u; v); y(u; v); z(u; v))D(z; x)

D(u; v)

+ C(x(u; v); y(u; v); z(u; v))D(x; y) :

D(u; v)

55

По определению

Z ! = Z ! = Z f(u; v) dudv :

G D D

Как видно, определение зависит от ориентации поверхности. Если изменить ориентацию, то в силу dv ^ du = du ^ dv интеграл RG ! изменит знак. Вместе с тем, при сохранении ориентации определение не зависит от выбора параметризации поверхности. Последнее вытекает из формулы замены переменных в двойном интеграле.

56

11.Как записать поверхностный интеграл 2-ого рода через интеграл 1-ого рода?

Ответ:

Поверхностный интеграл 2 рода это интеграл от дифференциальной 2-формы по ориентированной поверхности в R3:

I = ZZ	A(x; y; z) dy ^dz +B(x; y; z) dz ^dx+C(x; y; z) dx^dy
	= ZZ	F dS ;

где F = (A; B; C) и dS = (dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy). Если поверхность имеет параметризацию

x = x(u; v) ; y = y(u; v) ; z = z(u; v) ; (u; v) 2 D ;

то значение поверхностного интеграла находится по формуле

I = ZZD	D(y; z)		D(z; x)		D(x; y)	dudv ;
	A D(u; v) + B		D(u; v) + C D(u; v)
где A; B и	C должны рассматриваться уже как сложные
функции переменных u; v.
Вектор
		D(y; z)	D(z; x)		D(x; y)
	N = D(u; v) ; D(u; v)				; D(u; v)
является нормальным (вообще говоря, не единичным) к по-
верхности. Его орт обозначим через n. Тогда
	ZZ	F dS = ZZ		F n dS :

Эта формула и выражает упомянутую связь.

57

12.Интеграл от 3-формы по области в трехмерном пространстве, определение, связь с трехкратным интегралом.

Ответ:

Пусть D — связная жорданова область в R3 с координатами (x; y; z). Данный порядок координат определяет ориентацию пространства и области D. Пусть далее ! — дифференциальная 3-форма, определенная на области D. Тогда она может быть записана в виде ! = f(x; y; z) dx ^ dy ^ dz. По определению, интеграл от формы ! по ориентированной области D равен тройному интегралу от функции f по данной области:

ZZZD ! = ZZZD f(x; y; z) dxdydz :

Эта формула, в частности, выражает связь между интегралом от 3-формы и тройным интегралом.

При изменении ориентации пространства (области) функция f — множитель перед базисной 3-формой, определяющей ориентацию, — изменит знак. Это означает, что в отличии от тройного интеграла интеграл от 3-формы зависит от ориентации области интегрирования.

58