[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

4.Что такое гладкая поверхность? Как вычислить площадь гладкой поверхности?

Ответ:

Простая гладкая поверхность задается параметрически как образ гладкого отображения : D ! R3 плоской области D R2 при условии, что ранг производной (матрицы Якоби) отображения равен 2. Переменные (u; v) на D называются локальными координатами на поверхности .

Под площадью поверхности понимают интеграл

S( ) = ZZD qdet( 0T 0) dudv ;

где 0T — матрица, транспонированная к матрице Якоби 0. В координатном виде

0

0

D(y; z) 2

D(z; x)

2

D(x; y)

2

det(

T

) = D(u; v)

+ D(u; v)

+ D(u; v)

= EG F 2 ;

где

@

2

@x

2

@y

2

@z

2

E = @u

= @u

+

@u

+

@u

;

@

@

@x

@x

@y

@y

@z

@z

F = @u @v =

@u

@v

+

@u

@v

+ @u

@v

;

G = @v@

2 = @x@v 2 + @y@v 2

+ @v@z 2

:

В случае явного задания

поверхности z = g(x; y)

S( ) = ZZD s

1 + @x@g 2

+ @y@g 2 dxdy :

29

5.Определение и физический смысл поверхностного интеграла 1-го рода.

Ответ:

Пусть — простая гладкая поверхность с параметризацией: D ! R3. Обозначим локальные координаты на (т.е. координаты на D) через (u; v).

Пусть, далее, f — непрерывная вещественнозначная функция, определенная на .

Интеграл

ZZ		Опр. ZZ		q
	f dS	=	f( (u; v))	det( 0T 0) dudv ;

D

не зависит от выбора параметризации поверхности и называется поверхностным интегралом 1 рода. Здесь 0T — матрица, транспонированная к матрице Якоби 0. В координатном виде

0

0

D(y; z) 2

D(z; x)

2

D(x; y)

2

det(

T

) = D(u; v)

+ D(u; v)

+ D(u; v)

= EG F 2 ;

где

@

2

@x

2

@y

2

@z

2

E =

@u

= @u

+

@u

+

@u

;

F =

@

@ =

@x

@x

+

@y

@y

+

@z

@z

;

@u @v

@u

@v

@u

@v

@u

@v

G = @v@

2 = @x@v 2 + @y@v 2

+ @v@z 2

:

В случае явного задания

поверхности z = g(x; y)

f(x; y; g(u; v))s

ZZ

f dS = ZZD

1 + @x@g 2

+ @y@g 2 dxdy :

30

Физический смысл поверхностного интеграла 1 рода RR dS

— масса тонкой поверхности с поверхностной плотностью

.

31

6.Определение и физический смысл криволинейного интеграла 2-ого рода на плоскости.

Ответ:

Пусть — ориентированная гладкая кривая с параметризацией (t) ; t 2 [a; b] и пусть — соответствующий единичный касательный вектор к . Пусть, далее, F — векторное поле, определенное на . Криволинейный интеграл 1 рода вида

Z F dl

называется криволинейным интегралом 2 рода по кривой . Этот интеграл меняет знак при изменении ориентации кривой.

В координатном виде

Z F dl = Zb (P ( (t))x0(t) + Q( (t))y0(t)) dt ;

a

где F = (P; Q) и (t) = (x(t); y(t)). Интеграл в правой части равенства принято обозначать через

Z P (x; y) dx + Q(x; y) dy

и называть интегралом от дифференциальной формы P dx +

Q dy.

Физический смысл интеграла 2 рода R P dx + Q dy — работа силы F = (P; Q) на пути .

32

7.Как записать криволинейный интеграл от дифференциальной формы на плоскости в терминах интеграла 1-го рода?

Ответ:

Упомянутая запись выражается равенством

Z

P (x; y) dx + Q(x; y) dy = Z

F dl

где F = (P; Q) и — единичный касательный вектор ориентированной кривой .

В координатном виде

Z	P (x; y) dx + Q(x; y) dy = Z [P (x; y) cos + Q(x; y) sin ] dl ;

где — угол между осью абсцисс и вектором .

Заметим, далее, что вектор n = (sin ; cos ) является вектором нормали к кривой . Введем векторное поле F? = (Q; P ). Тогда

Z

P dx + Q dy = Z

F? n dl :

Это еще одна запись криволинейного интеграла 2 рода через интеграл 1 рода.

33

8.Дифференциальная 1-форма на плоскости. Интерпретация, интегрирование 1-формы.

Ответ:

На плоскости 1-формы это линейные функции с коэффициентами, зависящими от точки (более аккуратно, — это функции, определенные на подмножествах из R2 и принимающие значения в пространстве линейных функций на R2). Если x; y

— координаты в R2, то 1-форма имеет вид

! = A(x; y) dx + B(x; y) dy ;

где dx; dy — базис в пространстве линейных функций. Они определены формулами

dx(v) = v1 ; dy(v) = v2 v = (v1; v2) ;

т.е. это проекции на оси координат.

Интеграл от 1-формы ! = A dx + B dy по ориентированной кривой с параметризацией (t) = (x(t); y(t)) ; t 2 [a; b], определяется равенством

Z ! = Zb [A( (t))x0(t) + B( (t))y0(t)] dt :

a

Его определение не зависит от параметризации (ориентированной) кривой, но зависит от ее ориентации.

Физический смысл этого интеграла — работа силы F = (A; B) на пути . Поэтому ! = A dx + B dy называется 1- формой работы силы F.

34

9.Какие алгебраические операции над 0-, 1- и 2-формами на плоскости Вы знаете?

Ответ:

К алгебраическим операциям над формами относятся сложение форм, умножение их на функции и внешнее умножение форм.

0-формы на плоскости — это просто функции двух переменных.

1-формы на плоскости это линейные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют двумерное линейное пространство с базисом dx; dy и координатами, зависящими от точки плоскости.

2-формы на плоскости это билинейные антисимметричные функции, зависящие от точки плоскости. Они образуют одномерное линейное пространство с базисом dx ^ dy и координатами, зависящими от точки плоскости. Значение базисной 2-формы на паре векторов (v; w) равно определителю, составленному из координат этих векторов:

dx ^ dy(v; w) =	v1	w1	:
	v2	w2

Внешнее умножение ^ двух 1-форм это 2-форма, определенная равенством

(A dx + B dy) ^ (P dx + Q dy) = (AP BQ) dx ^ dy :

Эта операция линейная и антикоммутативная:

( + ) ^ = ^ + ^ ; ^ = ^ ;

где ; ; — некоторые 1-формы. В частности, ^ = 0.

35

10.Что такое внешний дифференциал функции и 1-формы на плоскости?

Ответ:

Внешний дифференциал функции или, что то же, 0-формы f(x; y) есть дифференциал функции f:

df = @f@x dx + @f@y dy :

Это 1-форма или, иначе, линейная функция в базисе (dx; dy) с коэффициентами, зависящими от точки плоскости и равными в данном случае частным производным функции f.

Внешний дифференциал 1-формы ! = P dx + Q dy есть 2- форма вида

d! = dP ^ dx + dQ ^ dy				@Q		dx ^ dy :
	@P		@Q		@P
=	@y	dy ^ dx +	@x dx ^ dy = @x		@y

Внешний дифференциал дифференциала функции равен нулю (лемма Пуанкаре) — это следствие равенства смешанных производных, взятых в разных порядках.

36

11.Ориентация плоской области. Интегрирование 2-форм. Связь с двукратным интегралом.

Ответ:

Ориентация связной области на плоскости индуцируется ориентацией плоскости. Под ориентацией плоскости понимается один из двух классов эквивалентных между собой базисов, при этом два базиса считаются эквивалентными, если определитель матрицы перехода от одного базиса к другому положителен. Таким образом, ориентация определяется выбором базиса на плоскости.

Эквивалентный способ задания ориентации плоскости — выбор формы площади (в данном случае — не обращающейся нигде в ноль 2-формы). Именно, 2-форма площади ! задает ту же ориентацию, что и базис (e1; e2), если !(e1; e2) > 0.

Стандартной формой площади, отвечающей стандартному базису (i; j) в R2, является форма = dx ^ dy, вычисляющая определитель пары векторов в стандартном базисе.

Произвольная 2-форма ! пропорциональна форме :

! = f(x; y) :

По определению,

ZZD ! = ZZD f(x; y) dxdy ;

где D — некоторая стандартно ориентированная жорданова область.

Как следует из определения, интеграл от формы зависит от ориентации. Изменение ориентации эквивалентно замене на , т.е. при смене ориентации интеграл от формы изменит знак.

37

12.Поясните формулу замены переменных в двукратном интеграле на языке форм.

Ответ:

Пусть ! — 2-форма, определенная на области D с координатами (x; y) (чем фиксирована ориентация области). Она имеет вид

! = f(x; y) dx ^ dy :

Пусть, далее, отображение определяет замену переменных

на области D, сохраняющую ориентацию
						0	D(x; y)			(u; v) 2 B :
(x; y) = (u; v) ;				det			= D(u; v)	> 0 ;
Замена переменных в форме ! с учетом равенств
f = f ;		dx = @u@x du + @x@v dv ;						dy = @u@y du + @y@v dv ;
приводит к форме
	Опр.								D(x; y)
	! =		f	dx ^	dy = f( (u; v))					du ^ dv :
									D(u; v)

Таким образом, формула замены переменных в двойном интеграле на языке форм примет вид

ZZ ! = ZZB ! :

(B)

Иначе говоря, чтобы выполнить замену переменных в двойном интеграле, можно записать его как интеграл от 2-формы и выполнить замену переменных в 2-форме, упрощая результат в соответствии со свойствами внешнего произведения.

38