[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

8.Как выглядит трехкратный интеграл в сферических координатах? Дайте пример.

Ответ:

Сферические				координаты (r; ; ')			связаны с декартовыми
(x; y; z) равенствами
			x = r cos ' sin ;			y = r sin ' sin ; z = r cos ;
r	>	0 ; 2 [0; ] ; ' 2 [0; 2 ):
Якобиан замены переменных равен
	D(x; y; z)			cos' sin		r cos ' cos	r sin ' sin		2
	D(r; ; ') =			sin ' sin		r sin ' cos	r cos ' sin	= r		sin :
				cos		r sin	0
Поэтому формула					замены переменных в тройном интеграле
примет вид
	ZZZD		f(x; y; z) dxdydz
		= ZZZB		f(r cos ' sin ; r sin ' sin ; r cos ) r2 sin drd d'

где D образ области B изменения сферических координат.

Вычислим, например, интеграл RRR z dxdydz по половинке шара x2 +y2 +z2 6 4 ; z > 0. В полярных координатах область интегрирования описывается неравенствами: r 6 2 ; 6 =2. Тогда

ZZZD	z dxdydz = ZZZB	r3 cos sin drd d'
		2	=2		2
		= Z0	d' Z0	d cos sin Z0	dr r3 = 4 :

19

9.Что такое несобственный кратный интеграл?

Ответ:

Несобственный интеграл возникает, если функция или область интегрирования являются неограниченными. Оба эти случая можно рассматривать одновременно, считая область интегрирования G открытой, а функцию f — локально интегрируемой на G. Последнее означает, что функция f интегрируема на любом компактном (замкнутом и ограниченном) жордановом подмножестве области G. Например, непрерывная функция на открытой области G будет локально интегрируема на ней.

Если функция f не отрицательна на G, то несобственный интеграл от f по G существует, если

ZF	f 6 C
для произвольного компактного		жорданова подмножества
F G и некоторой фиксированной константы C. При этом
по определению	F ZF
ZG
f = sup		f :

Чтобы определить несобственный интеграл от знаконеопределенной функции, положим

f+(P ) = (f(P ) ; f(P )		>	0 ;	и f = ( f)+ :
0 ;	f(P )	6 0 ;

При этом f = f+ f ; jfj = f+ + f ; f > 0. Тогда по определению

Z f = Z f+ Z f :

G G G

20

Этот интеграл обладает тем свойством, что для любого положительного " существует такое компактное жорданово подмножество F G, что при расширении его до произвольного компактного жорданова подмножества A G интеграл изменяется не более чем на ":

Z f < " :

ArF

21

10.Что такое абсолютная сходимость несобственного интеграла?

Ответ: Несобственный интеграл

Z f(x) dx

G

возникает в том случае, когда область интегрирования G и/или функция f не ограничены. Область интегрирования G будем считать открытой. Она может быть не ограниченной. Функция f считается локально интегрируемой. Последнее означает, что если F — компактное подмножество области интегрирования G, имеющее объем, то интеграл

Z f(x) dx

F

существует в обычном смысле. Например это верно, если f

— непрерывна. На множестве G n F функция f может быть не ограниченной. Под абсолютной сходимостью несобственного кратного интеграла понимают следующее его свойство. Несобственный интеграл

Z f(x) dx

G

существует тогда и только тогда, когда существует (не равен бесконечности) несобственный интеграл

Z				Опр.	Z
		f(x)	dx	= sup			f(x)	dx ;
G	j	j		F	F	j	j

где F определено выше.

22

11.Дайте признаки абсолютной сходимости двукратного интеграла в точке и на бесконечности.

Ответ:

1) Пусть функция f(x; y) определена на			множестве	G r
f(x0; y0)g и интегрируема на множествах			G r U(x0;y0),	где
U(x0;y0) — окрестность точки (x0; y0). Если
jf(x; y)j 6	C
		;	p < 2 ;
	j(x x0; y y0)jp
то f — абсолютно интегрируема на G.

2) Пусть G — неограниченная плоская область и пусть функция f(x; y) интегрируема на любом компактном жордановом подмножестве множества G. Если

jf(x; y)j 6	C
	1 + j(x; y)jp ; p > 2 ;

то f абсолютно интегрируема на G.

23

12.Дайте признаки абсолютной сходимости трехкратного интеграла в точке и на бесконечности.

Ответ:

1)Пусть функция f(x; y; z) определена на множестве G r

f(x0; y0; z0)g и интегрируема на множествах G r U(x0;y0;z0), где U(x0;y0;z0) — окрестность точки (x0; y0; z0). Если

C

jf(x; y; z)j 6 j(x x0; y y0; z z0)jp ; p < 3 ;

то f — абсолютно интегрируема на G.

2) Пусть G — неограниченная область в пространстве и пусть функция f(x; y; z) интегрируема на любом компактном жордановом подмножестве множества G. Если

jf(x; y; z)j 6	C
		; p > 3 ;
	1 + j(x; y; z)jp

то f абсолютно интегрируема на G.

24

13.Сформулируйте теорему о непрерывной зависимости интеграла от параметра.

Ответ:

Пусть функция f(x; y) равномерно непрерывна на множестве A B Rn Rm, где A — жорданово. Тогда функция

g(y) = Z f(x; y) dx

A

равномерно непрерывна на B.

Равномерная непрерывность функции f означает, что 8" >

0 9 > 0 :

j(x2; y2) (x1; y1)j 6 ) jf(x2; y2) f(x1; y1)j 6 " :

Утверждение теоремы остается в силе и в случае несобственного интеграла, если он сходится равномерно, т.е. 8" > 0 существует компактное жорданово подмножество F множества A такое, что

Z f(x; y) dx 6 " ;

DrF

где D — произвольное компактное жорданово расширение множества F , содержащееся в множестве A.

25

3.2Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода. Криволинейные интегралы на плоскости

1.Что такое гладкая кривая на плоскости, в пространстве? Касательный вектор.

Ответ:

Гладкая кривая на плоскости или в пространстве задается параметрически. Параметризованная кривая иначе называется путем и представляет собой гладкое отображение отрезка, соответственно, на плоскость или в пространство. Под кривой при этом понимается множество всех путей, имеющих один и тот же образ. Если (t) — некоторый путь, то его производная 0(t) называется скоростью пути. Путь называется гладким, если его скорость нигде не обращается в ноль. Кривая называется гладкой, если среди ее параметризаций есть гладкий путь.

Пусть (t) — параметризация некоторой кривой . Касательным вектором к кривой в точке P = (t) называется любой вектор, коллинеарный вектору скорости (P ) = 0(t) в этой точке. В каждой точке гладкой кривой определена пара взаимно противоположных единичных касательных векторов:

P = (t) ; (P ) = 0(t) :

j 0(t)j

Это определение не зависит от выбора параметризации кривой.

26

2.Что такое ориентация кривой? Параметризация, согласованная с ориентацией.

Ответ:

Гладкая кривая на плоскости или в пространстве задается параметрически как образ некоторого гладкого пути (t); t 2 [a; b], в координатном виде (в пространстве):

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) :

Путь (t) эквивалентен пути (s) ; s 2 [c; d], если (t) =('(t)), где ' — гладкая функция, производная которой нигде не обращается в ноль. Этим отношением пути, параметризующие кривую , делятся на два не пересекающихся класса, каждый из которых состоит из эквивалентных между собой путей и называется ориентированной кривой. Выбор ориентированной кривой и называется ориентацией данной кривой. Ориентацию кривой можно определить выбором одного из двух единичных касательных векторов

0(t)

j 0(t)j ;

непрерывно зависящих от точки (t) кривой. Если кривая не замкнута, ее ориентацию можно задать выбором начала и конца кривой (упорядочением концов). Ориентация составной (кусочно гладкой) кривой определяется тем условием, что начало каждого следующего куска кривой должно являться концом предыдущего.

27

3.Определение и физический смысл криволинейного интеграла 1-ого рода.

Ответ:

Пусть — гладкая кривая с параметризацией (t); t 2 [a; b]. Пусть, далее, f — непрерывная вещественнозначная функция, определенная на . Интеграл

		b
Z	Опр. Z	0
	f dl =	f( (t))j	(t)j dt
	a

не зависит от параметризации кривой и называется криволинейным интегралом 1 рода или интегралом по длине дуги. В частности, интеграл от f = 1 даст длину кривой . В координатном виде

(t) = (x(t); y(t); z(t)) ; j 0(t)j = px02(t) + y02(t) + z02(t) :

Физический смысл интеграла 1 рода заключен в следующем. Если — линейная плотность тонкой тяжелой проволоки формы , то масса проволоки определяется интегралом

M = Z dl :

28