[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

13.Опишите формулу Грина на плоскости на языке форм.

Ответ:

Пусть D — ориентированная связная область на плоскости с кусочно гладкой границей @D, ориентированной согласованно. Последнее означает, что если базис (e1; e2), определяющий ориентацию области, посадить в гладкую точку границы и сделать первый вектор базиса вектором внешней нормали к границе, а второй вектор — касательным к границе, то этот касательный вектор и задаст ориентацию данного куска границы (граница области D может состоять из конечного числа кусков, каждый из которых является простой замкнутой кривой). Это согласование приводит к следующему правилу: обходить границу области надо в таком направлении, чтобы область все время лежала слева.

Если теперь ! — 1-форма, определенная на области D, то по формуле Грина

ZZD d! = Z ! :

@D

В координатном виде формула Грина примет вид (читая справа налево)

Z	@Q	@P	dx ^ dy :
	P dx + Q dy = ZZ @x	@y
@D	D

39

14.Как записать формулу Грина в терминах криволинейного интеграла 1-ого рода?

Ответ:

Формула Грина связывает интеграл по области от дифференциала 1-формы с интегралом по границе от самой 1-формы

Z	@Q	@P	dx ^ dy ;
	P dx + Q dy = ZZ @x	@y
@D	D

при этом, область и ее граница должны быть ориентированы согласованно, что означает, что при обходе границы область должна лежать слева. Введем единичный касательный вектор к границе = (cos ; sin ), где угол образован направлением вектора и осью абсцисс. Запишем криволинейный интеграл 2 рода слева через криволинейный интеграл 1 рода и интеграл от 2-формы справа через двойной интеграл, получим

Z	@Q	@P	dxdy ;
	(P cos + Q sin ) dl = ZZ @x	@y
@D	D

Заметим, далее, что вектор n = (sin ; cos ) является вектором внешней нормали к границе @D. Введем векторное поле F = (Q; P ). Тогда формула Грина перепишется в виде

Z F n dl = ZZD div F dxdy :

@D

Это и есть требуемое равенство, поскольку обе его части уже не зависят от ориентации.

40

15.Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования.

Ответ:

Под независимостью криволинейного интеграла от пути интегрирования понимают равенство

Z1 ! = Z2 ! ;

где ! — 1-форма, а 1; 2 — две произвольные кривые в области определения формы !, имеющие одно и то же начало и один и тот же конец. Иначе говоря, интеграл от 1-формы ! не зависит от пути интегрирования, если интеграл по любому замкнутому контуру от этой формы равен нулю.

Если фиксировать начальную точку кривой и менять ее конечную точку, то в условиях независимости интеграла от пути получим функцию

(x;y)

f(x; y) =(x0Z;y0) ! ;

которая является потенциалом формы !: ! = df. Иначе говоря, интеграл от формы ! не зависит от пути тогда и только тогда, когда форма точна.

Для точности 1-формы необходимо, чтобы она была замкнута d! = 0. В координатном виде, форма ! = P dx + Q dy

замкнута, если

@P@y = @Q@x :

Это условие будет достаточным для точности формы !, если область стягивается в точку (односвязна).

41

16.Когда 1-форма на плоскости является дифференциалом функции? Как найти первообразную (точной) 1-формы на плоскости?

Ответ:

1-форма на плоскости, являющаяся дифференциалом функции называется точной. Интеграл от точной формы не зависит от пути интегрирования. Верно и обратное. Если интеграл от 1-формы не зависит от пути интегрирования, форма является точной. Потенциал f такой формы ! может быть найден по формуле

(x;y)

f(x; y) =(x0Z;y0) ! ;

где (x0; y0) — произвольная фиксированная точка из области определения формы !, а путь, соединяющий начало и конец выбран произвольно.

Необходимым условием точности формы является ее замкнутость: d! = 0. В координатах, ! = P dx + Q dy и d! =

dP ^ dx + dQ ^ dy = @Q @P dx ^ dy и условие замкну-
тости примет вид	@x	@y
	@P	=	@Q	:
	@y		@x

Это условие будет достаточным для точности формы, если область определения формы односвязна (стягивается в точку). В окрестности нуля потенциал может быть восстановлен по формуле Пуанкаре

f(x; y) = Z1 dt[P (tx; ty) x + Q(tx; ty) y] ;

0

что соответствует интегрированию формы ! по отрезку прямой, соединяющему начало координат и точку (x; y).

42

3.3Криволинейные и поверхностные интегралы в пространстве

1.Ориентация поверхности и области в трехмерном пространстве.

Ответ:

Простая гладкая поверхность в R3 задается параметрически отображением (x; y; z) = (u; v) ; (u; v) 2 D R2, ранг производной (матрицы Якоби) которого равен 2. Переменные u; v называются локальными координатами на . Ориентация поверхности определяется как ориентация области изменения локальных координат (т.е. ориентацией пространства

R2). Например, изменение порядка локальных координат меняет ориентацию поверхности на противоположную. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

1 = @u@ ; 2 = @v@ ;

непрерывно зависящих от точки поверхности. Такое определение ориентации можно распространить и на поверхности, не являющиеся простыми. Наконец, ориентацию поверхности можно задать выбором вектора единичной нормали n, непрерывно зависящего от точки поверхности. При этом надо пользоваться соглашением: вектор n определяет ту же ориентацию, что и касательные вектора 1; 2, если базис векторов n; 1; 2 задает ориентацию пространства R3. О выборе вектора нормали говорят как о выборе стороны поверхности .

Ориентация связной области пространства R3 определяется как ориентация самого пространства R3, т.е. выбором класса эквивалентных между собой базисов. При этом, два базиса векторов в R3 считаются эквивалентными, если переход от одного из них к другому осуществляется матрицей перехода, имеющей положительный определитель. Ориентацию

43

пространства можно задать также выбором формы объема

— невырожденной 3-формы. Форма определяет ту же ориентацию, что и базис e1; e2; e3, если (e1; e2; e3) > 0.

44

2.Всякая ли поверхность допускает ориентацию?

Ответ:

Всякая простая поверхность допускает ориентацию. Простая гладкая поверхность в R3 задается параметрически отображением (x; y; z) = (u; v) ; (u; v) 2 D R2, ранг производной (матрицы Якоби) которго равен 2. Переменные u; v называются локальными координатами на . Ориентация поверхностиопределяется как ориентация области изменения локальных координат (т.е. ориентацией пространства R2). Например, изменение порядка локальных координат меняет ориентацию поверхности на противоположную. Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

1 = @u@ ; 2 = @v@ ;

непрерывно зависящих от точки поверхности. Такое определение ориентации можно распространить и на поверхности, не являющиеся простыми. Наконец, ориентацию поверхности можно задать выбором вектора единичной нормали n, непрерывно зависящего от точки поверхности. При этом надо пользоваться соглашением: вектор n определяет ту же ориентацию, что и касательные вектора 1; 2, если базис векторов n; 1; 2 задает ориентацию пространства R3. О выборе вектора нормали говорят как о выборе стороны поверхности .

Поверхность, не являющаяся простой может не быть ориентируемой. Это означает, что на этой поверхности не существует непрерывно зависящего от точки поверхности базисного репера 1; 2 касательных векторов, определяющих ориентацию касательных плоскостей. Это же означает, что непрерывно перемещая вектор единичной нормали к поверхности по замкнутому пути можно так выбрать этот путь, что при возвращении в исходную точку направление вектора нормали изменится на противоположное. Такие поверхности называются

45

односторонними. Односторонние поверхности не ориентируемы. Примером односторонней поверхности в R3 является лист Мебиуса.

Рис. 1: Лист Мебиуса

В R3 все двусторонние поверхности являются ориентируемыми.

46

3.Что такое согласованные ориентации кривой и ее края?

Ответ:

Гладкая кривая в пространстве R3 задается параметрически как образ некоторого гладкого пути (t); t 2 [a; b], в координатном виде:

x = x(t) ; y = y(t) ; z = z(t) :

Если (a) = (b), край кривой пуст. В противном случае краем @ кривой называется множество fA; Bg ее концов: fA; Bg = f (a); (b)g.

Ориентацию кривой можно определить выбором одного из двух единичных касательных векторов

0(t)

j 0(t)j ;

непрерывно зависящих от точки (t) кривой. Под ориентацией края кривой понимают упорядочение множества @ .

Если касательный вектор задает ориентацию кривой , то согласованную ориентацию ее края @ определяют как пару концов (A; B) такую, что (A) является внутренним по отношению к краю вектором, т.е. (A) AP! > 0 для точек P кривой, достаточно близких к точке A.

47

4.Что такое согласованные ориентации поверхности и ее края в пространстве?

Ответ:

Простая гладкая поверхность в R3 задается параметрически отображением (x; y; z) = (u; v) ; (u; v) 2 D R2, ранг производной (матрицы Якоби) которого равен 2. Ее краем @ называется образ границы области D: @ = (@D). Край поверхности это кусочно гладкая замкнутая кривая.

Выбор ориентации поверхности можно осуществить выбором базиса касательных векторов, например,

1 = @u@ ; 2 = @v@ ;

непрерывно зависящих от точки поверхности. Ориентацию края @ задает ненулевой касательный вектор к краю @ .

Пусть и — (ненулевые) касательные векторы к в некоторой не угловой точке @ , причем — касательный к @ , задающий ориентацию края @ , а — вектор внешней (по отношению к ) нормали к краю @ . Тогда вектор задает согласованную ориентацию края, если базис векторов ( ; ) задает ориентацию поверхности.

Если ориентация поверхности задана вектором n нормали к , то согласованную ориентацию края поверхности можно охарактеризовать тем условием, что при движении вдоль @ поверхность должна оставаться слева: базис векторов (n; ; ) определяет ту же ориентацию пространства R3, что и базис (n; ; ).

48