[ Будылин ] Основные вопросы по высшей математике в третьем семестре (с примерными ответами)

13.Поясните формулу замены переменных в трехкратном интеграле на языке форм.

Ответ:

Пусть ! — дифференциальная 3-форма, определенная на ориентированной области D в R3 с координатами (x; y; z). Тогда ! = f(x; y; z) dx ^ dy ^ dz. Пусть отображение : R3 ! R3 определяет замену переменных на D, сохраняющую ориентацию:

x = x(u; v; w) ;

y = y(u; v; w) ;

z = z(u; v; w) ;

(u; v; w) 2 B ; ориентация области B задается порядком координат u; v; w. Подстановка этих соотношений в форму ! приводит к форме ! на области B:

! = f D(x; y; z) du ^ dv ^ dw : D(u; v; w)

На языке форм формула замены переменных в тройном интеграле примет вид

ZZZ ! = ZZZB ! ;

(B)

поскольку при сделанных предположениях относительно сохранения ориентации, якобиан замены переменных

D(x; y; z)

D(u; v; w)

положителен.

59

14.Каков общий вид формулы Стокса для множеств в трехмерном пространстве?

Ответ:

Пусть — одномерное, двумерное или трехмерное множество в R3, допускающее клеточное разбиение. Это означает, что является объединением конечного числа клеток соответствующих размерностей, причем две разные клетки либо не пересекаются, либо их пересечением является их общая грань. Под клеткой понимается образ взаимно-однозначного гладкого в обе стороны отображения отрезка, квадрата или куба, соответственно. Грань клетки это образ, соответственно, конца отрезка, стороны квадрата или грани куба. Грани клеток, принадлежащие двум разным клеткам объединенияназываются внутренними, не внутренние грани клеток называются внешними и их объединение называется краем @ множества .

Множество и его край считаются ориентированными согласованно, если ориентация края определяется следующей процедурой. Базис касательных векторов ориентации надо посадить на край (в гладкую точку) и сделать первый вектор базиса внешним к краю, а остальные векторы базиса сделать касательными к краю. Эти касательные к краю векторы и зададут согласованную ориентацию края.

Пусть теперь ! — 0-форма, 1-форма или 2-форма, соответственно, определенная на . Тогда формула Стокса примет вид

Z d! = Z ! ;

@

где и @ ориентированны согласованно.

60

15.Специальный случай формулы Стокса: интеграл от дифференциала функции по кривой (формула Ньютона-Лейбница)

Ответ:

Пусть — гладкая ориентированная кривая с согласованно ориентированным краем @ = (A; B), где A и B — начало и конец кривой .

Пусть теперь f — 0-форма, т.е. гладкая функция, определенная на . Запишем формулу Стокса для этого случая

Z df = Z f :

@

Запишем левую и правую части равенства в классических обозначениях

Z grad f dl = f(B) f(A) :

Это и есть формула Ньютона–Лейбница для интеграла по кривой.

61

16.Специальный случай общей формулы Стокса: интеграл от дифференциала 1-формы по поверхности (классическая формула Стокса)

Ответ:

Пусть — гладкая ориентированная поверхность с согласованно ориентированным краем @ . Последнее означает, что если касательный базис ( 1; 2) посадить на край и сделать первый вектор 1 внешней нормалью к краю, а второй вектор

2 — касательным к краю, то вектор 2 и определит ориентацию края.

Пусть теперь ! — 1-форма, определенная на . Запишем формулу Стокса для этого случая

Z d! = Z ! :

@

В координатном виде

			! = A dx + B dy + C dz ;
d! = dA	^	dx + dB	^	dy + dC	^	dz =	dy ^@	dz	dz ^@ dx	dx ^@	dy
							@x		@y	@z
							A		B	C

В классических обозначениях ! = F dl и d! = rot F dS, где

F = (A; B; C), dl = (dx; dy; dz), dS = (dy ^ dz; dz ^ dx; dx ^ dy). Учитывая связь интегралов 1 и 2 родов, формула Стокса может быть переписана в виде

:

ZZ	rot F n dS = @I F dl :

Здесь n — единичный вектор нормали к поверхности , задающий ее ориентацию (векторы (n; 1; 2) образуют правую тройку), а — касательный вектор ориентации @ .

62

Полученная формула читается как: поток ротора через поверхность равен циркуляции вектора по краю поверхности.

63

17.Специальный случай формулы Стокса: интеграл от дифференциала 2-формы по области (формула Гаусса - Остроградского).

Ответ:

Пусть — замкнутая ориентированная область в R3 с гладким краем, ориентированным согласованно. Последнее означает, что ориентация края определяется касательным базисом

( 1; 2) таким, что векторы (n; 1; 2), где n — вектор внешней единичной нормали к @ , образуют базис ориентации области.

Пусть теперь ! — 2-форма, определенная на . Запишем формулу Стокса для этого случая

Z d! = Z ! :

@

Вкоординатном виде

!= A dy ^ dz + B dz ^ dx + C dx ^ dy ;

^dy ^ dz + dB ^ dz ^ dx + dC ^ dx ^ dy

=@A@x + @B@y + @C@z dx ^ dy ^ dz :

Вклассических обозначениях ! = F dS и d! = div F dx^dy^ dz, где F = (A; B; C), dS = (dy^dz; dz^dx; dx^dy). Учитывая связь интегралов 1 и 2 родов, формула Стокса может быть переписана в виде

ZZZ div F dV = ZZ@ F n dS :

Полученная формула читается (справа налево) как: поток вектора через поверхность тела равен интегралу от дивергенции вектора. Эта формула и называется формулой Гаусса– Остроградского.

64

18.Дайте определение точной и замкнутой дифференциальных форм в пространстве. Первообразная (потенциал) формы.

Ответ:

Форма ! называется точной, если она имеет вид внешнего дифференциала некоторой формы , называемой потенциалом (первообразной) формы !: ! = d :

Форма ! называется замкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: d! = 0.

В силу леммы Пуанкаре точные формы являются замкнутыми: dd = 0.

Обратное верно, вообще говоря, только локально: замкнутая форма локально является точной (теорема Пуанкаре). Например, в окрестности нуля он может быть восстановлен по формуле

= Z1 dt t {v! ;

0

где t(x) = tx и v = x ; t 2 [0; 1] .

t

Потенциал точной формы определен неоднозначно. Если — потенциал формы !, то = + d — тоже потенциал (в силу леммы Пуанкаре).

65

19.Когда дифференциальная форма в пространстве является точной?

Ответ:

Форма ! называется точной, если она имеет вид внешнего дифференциала некоторой формы , называемой потенциалом (первообразной) формы !: ! = d :

В силу леммы Пуанкаре, dd = 0. Это означает, что для того, чтобы форма была точна, необходимо, чтобы она была замкнута, т.е. чтобы внешний дифференциал ее был равен нулю: d! = 0.

Однако не любая замкнутая форма является точной. Для того, чтобы замкнутая форма была точной в некоторой области достаточно, чтобы эта область могла быть стянута в точку.

В случае 1-форм в пространстве условия на область можно ослабить. Например, для точности замкнутой 1-формы в пространстве достаточно, чтобы любой замкнутый (гладкий) контур можно было стянуть в точку.

66

20.Как найти первообразную точной 1-формы в пространстве?

Ответ:

1-форма ! называется точной, если она имеет вид внешнего дифференциала некоторой функции f, называемой потенциалом (первообразной) формы !: ! = df : Потенциал определен с точностью до константы.

Если 1-форма ! точна, то по формуле Стокса

Z

! = Z

df = @Z f = f(B) f(A) ;

где A и B — начало и конец кривой . Эта формула позволяет восстановить потенциал в виде

x

f(x) = Z ! ;

x0

где x0 — произвольная фиксированная точка, x — переменная точка, а контур, соединяющий x0 с x выбран произвольно.

Если этот контур можно выбрать в виде отрезка прямой, идущей из нуля, получим формулу Пуанкаре:

f(x) = Z1 dt [P (tx)x + Q(tx)y + R(tx)z] ;

0

где x = (x; y; z) и ! = P (x) dx + Q(x) dy + R(x) dz.

67

21.Как найти первообразную точной 2-формы в пространстве?

Ответ:

2-форма ! называется точной, если она имеет вид внешнего дифференциала некоторой 1-формы , называемой потенциалом (первообразной) формы !: ! = d : Локально потенциал определен с точностью до дифференциала функции.

Потенциал точной формы в окрестности любой точки из области определения может быть восстановлен по формуле Пуанкаре. В окрестности нуля она имеет вид

(x) = Z0 1 dt t[P (tx)(y dz z dy)
+ Q(tx)(z dx x dz) + R(tx)(x dy				y dx)]
	Z0	1	dx	dy	dz
=			dt P (tx) Q(tx) R(tx) :
			tx	ty	tz

где x = (x; y; z) и ! = P (x) dy^dz+Q(x) dz^dx+R(x) dx^dy.

68