Равновесие Нэша: формальное определение

Допустим, —играnлиц в нормальной форме, где— набор чистых стратегий, а— набор выигрышей. Когда каждый игроквыбирает стратегиюв профиле стратегий, игрокполучает выигрыш. Заметьте, что выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком, но и от чужих стратегий. Профиль стратегийявляется равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии снане выгодно ни одному игроку, то есть для любого

Игра может иметь равновесие Нэша в чистых стратегиях или в смешанных(то есть при выборе чистой стратегии стохастически с фиксированной частотой). Нэш доказал, что если разрешитьсмешанные стратегии, тогда в каждой игреnигроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

Равновесии дрожащей руки: формальное определение

Пусть задана игра в нормальной форме . Набор смешанных стратегийигроковqназывается равновесием дрожащей руки, если существует такая последовательность вполне смешанных стратегий {p_ε} →q, что стратегияq_iявляется наилучшим ответом игрокаiна стратегии остальных игроков из набораp_ε.

Как и равновесие Нэша, равновесие дрожащей руки существует в смешанном расширении в любойнекооперативной игрес конечными множествами стратегий игроков.

Пример

Пусть в игре будут два лица. Игра происходит в нормальной форме. Игроки выбирают стратегии (Вверх,Влево) (Вниз,Вправо). Однако, только (В,Л) является равновесием дрожащей руки.

	Влево	Вправо
Вверх	1, 1	2, 0
Вниз	0, 2	2, 2

Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию , для некоторого. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он играетЛево, составит:

.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при выборе стратегии Правосоставит:

.

Для достаточно малых значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя стратегию Правос минимальным весом. Аналогично, игрок 1 должен использовать с минимальным весом стратегиюНиз, если игрок 2 использует смешанную стратегию. Следовательно, (В,Л) является равновесием дрожащей руки.

Аналогичные рассуждения не выполняются для профиля стратегий (Н,П). Действительно, предположим, что игрок 1 использует смешанную стратегию. Ожидаемый выигрыш игрока 2, если он используетЛ, составит:

.

Ожидаемый выигрыш игрока 2 при использовании стратегии П:

.

В этом случае для любых положительных значений ε, игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, используя Пс минимальной частотой. Следовательно, (Н,П) не является равновесием дрожащей руки, так как при небольшой вероятности ошибок игрок 2 максимизирует свой ожидаемый выигрыш, отклоняясь от данной стратеги

Собственное равновесие

Собственное равновесие—принцип оптимальностивнекооперативных играх, представляющий собой сужениеравновесия дрожащей руки. ВведёнР. Б. Майерсоном.

В отличие от равновесия дрожащей руки, данный принцип основан на предположении, что более затратные отклонения от равновесных стратегий возникают со значительно меньшей вероятностью, нежели менее затратные.

Определение

Для заданной игры в нормальной форме и параметра ε > 0, профиль вполне смешанных стратегий называетсяε-собственным, если выполнено следующее условие: для двух чистых стратегий игрокаi,x',x'' ∈X_i, таких, что его ожидаемый выигрыш при использовании стратегииx' меньше, нежели при использованииx'', вероятность использованияx' не превышаетεp, гдеp— вероятность использования чистой стратегииx''.

Профиль стратегий в игре называется собственным равновесием, если он является пределом при ε→0 последовательностиε-собственных вполне смешанных профилей стратегий.

Пример

Рассмотрим вариант игры «орел-решка», приведенный в таблице.

	Орел	Решка	Забрать монету
Орел	-1, 1	0, 0	-1, 1
Решка	0, 0	-1, 1	-1, 1

Игрок 1, выбирающий строку, прячет монету одной из сторон вверх. Если Игрок 2, выбирающий столбец, угадывает сторону, он получает эту монету. Однако, в этом варианте игры он имеет еще одну стратегию, забрать монету, не угадывая. Равновесиями Нэшав данной игре являются ситуации, в которых Игрок 2 использует стратегию «забрать монету» с вероятностью 1, а Игрок 1 — любую смешанную стратегию. Более того, любая такая ситуация является также иравновесием дрожащей руки. Интуитивно это означает, что Игроку 1, в условиях, когда Игрок 2 в любом случае забирает монету, нет необходимости оптимизировать свою стратегию.

В то же время, единственным собственным равновесием в этой игре является использование Игроком 1 своих стратегий «орел» и «решка» с вероятностями 1/2, а Игроком 2 — стратегии «забрать монету» с вероятностью 1. Наличие этого равновесия связано с тем, что Игрок 1 по-прежнему учитывает возможность невероятного события, когда Игрок 2 не забирает монету, а пытается угадать. При этом указанная стратегия Игрока 1 будет минимизировать его ожидаемый проигрыш.