Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_6_FNP

	2.1.	z = u +v ,	где	u = (x − y)3 , v = x2 y;
	2.2.	u −v
		z = arcsin(x − y) ,		где	x = 3t, y = 4t3.
3.	Вычислить приближенно (2.003)2 (3.004)3 , заменяя приращение функции
дифференциалом.						dy			∂z		∂z
4.	Найти производные от функций,				заданных неявно:		для	ey = x + y и		,
						dx			∂x		∂y

для 2sin(x +2y − z) = x +2y −3z.

5.Найти ∂∂x23u∂y , если u = ln(x2 + y2 ) .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = ex+2 y (x2 − y2 ) .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 4xy +8 в области x2 + y2 ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = x2 +2xy +2y2 при 4x2 + y2 = 25 .

9.Для данной поверхности z = x2 − y2 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(2,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = e y sin x в окрестности точки (0,0).

Вариант №12

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z = tg2

x

.

y

2.

Найти производные сложных функций по каждой из независимых

переменных.

2.1.

z = u2 −3uv +2v2 ,

где u = x − y, v = xy;

2.2.

z = x2 y , где

y = cos x.

3.

Вычислить приближенно

(1

.03)2 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

3 0.98

−y

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

dy

для

ln x +e

= c и

∂z

,

x

∂z

dx

∂x

для xy + xz + yz =1.

∂y

5.Найти ∂∂x67u∂y , если u = cos(xyz) .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = ex−y (x2 −2xy +2y2 ) .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x +2y +10 в области 0 ≤ x ≤1, −1 ≤ y ≤ 0,0 ≤ x − y ≤1.

8. Найти условные экстремумы функции z = x2 +36xy +18y2 при 4x2 +9y2 = 25 .

61

9. Для данной поверхности z = x2 + y2 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = e y ln(1+ x) в окрестности точки (0,0).

Вариант №13

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= e( x2 +y2 )2 .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = arcsin

u

,

где

u = x2 − y2 , v = x2 + y2

;

2.2.

z = esin( y / x) ,

v

где y =

5x +4.

3.

Вычислить приближенно 1.01 e0.15 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

x

∂z

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

ln y +

= c и

,

dx

y

∂x

∂z

для z3 +3x2 z = 2xy.

∂y

5.Найти ∂x∂28∂uy6 , если u = e−y sin 3x + y5 .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = xy + 1x + y, x>0, y>0.

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = 2x2 +2y2 +2xy + x − y +1 в области x ≤ 0, y ≥ 0, −x + y ≤ 32 .

8.Найти условные экстремумы функции z = 2xy при x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности z = sin xy составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M( π,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z extgy в окрестности точки (0,0).

Вариант №14

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= arctg 1+yx2 .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

62

2.1.

z = u sin v +v cosu ,

где u =

x

,v = xy;

y

, где

2.2.

z =

y

x = ln t, y = et .

x

3.

Вычислить приближенно1.024.05 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

∂z

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

y = sin(x + y) и

,

∂z

dx

∂x

для x + y + z = ez .

∂y

6

u

y

5.

Найти

∂

, если u = e

.

xz

∂x∂y5

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 +(y −1)2 .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy + x2 y + xy22 +5 в области −1 ≤ x ≤ 0, −2 ≤ y ≤ 0.

8.Найти условные экстремумы функции z = −6xy при x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности z = x2 y2 +2x + z3 =16 составить уравнения

касательной плоскости и нормали в точке M(2,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z ey tgx в окрестности точки (0,0).

Вариант №15

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= 5xxy−2y .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = arctg

u

,

где

u = x + y,v = xy;

1−v

2.2.

z = xy ,

где

y = sin(5 −2x).

3.

Вычислить приближенноln(0.093 +0.993 ) , заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

∂z

4.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

y = tg(x + y) и

,

∂z

dx

∂x

для z3 +3xyz = a3.

∂y

5.Найти ∂x∂38∂uy5 , если u = 3x ln y + x3 y2 .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 −(y −1)2 .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

63

z = −8x3 + y3 +6xy +2 в области −1 ≤ x ≤ 0, −1 ≤ y ≤ 2.

8.Найти условные экстремумы функции z = x2 при x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности ez − z + xy = 3 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(2,1 ,0).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ex−y в окрестности точки (1,1).

Вариант №16

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= arcsin(yx)

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = cos

u2

,

где

u =

,v = x4 + y4 ;

xy

v

2.2.

z = xy arctg(xy) ,

где

x = t2 +1, y = t3.

3.

Вычислить приближенно3

, заменяя приращение функции

1.022 +0.052

дифференциалом.

dy

∂z

∂z

4.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

ex+y = xy и

,

dx

∂x

∂y

для x = z ln

z

.

y

∂m+n+ku

5.Найти ∂xm∂yn∂zk , если u = ln x ln y ln z .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = e2x (x + y2 −2y) .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = xy +8 в области

x2 +4y2 ≤1.

8. Найти условные экстремумы функции z = x2 при x2 +9y2 =1.

9.Для данной поверхности xyz =8 составить уравнения касательной плоскости

инормали в точке M(1,2 ,?).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z = 2x+y в окрестности точки (1,−1).

Вариант №17

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= x sin xy .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = uv +vu ,

где u = x2 + y2 ,v = x2 − y2 ;

64

2.2.

z = ln(ex +et ) ,

где

x = t3

+t.

3

3.

Вычислить приближенно

5e0.02 +2.032

, заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

4.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

ey −e−x + xy = 0 и

∂z

, ∂z для cos2 x +cos2 y +cos2

dx

z =1.

∂x

∂y

5.

Найти

∂10u

, если u = x

6

y

y

5

2

.

ez

2

x

+

6

∂y

4

2

∂x

z

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 − xy + y2 −2x + y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = xy2 +10 в области 25x2 + y2 ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = 2x2 + y2 при x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности xy = z2 составить уравнения касательной плоскости

и нормали в точке M(0,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = ln(1+ xy) в окрестности точки (0,0).

Вариант №18

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= ln tg(x −2y) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = arcsin u ,

где u = x2 y3 ,v =

y2 − x2 ;

v

где x = 1, y =

2.2.

z = ln(2x2 −3y)

,

.

t

t

3.

Вычислить приближенно

1.982 +1.012

, заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

ex sin y −e−y cos x = 0

∂z ,

∂z

dx

и

для x3 + y3 + z3 −3xyz = 0.

∂x

∂y

5.

Найти

∂9u

, если u =

1

+ xyz .

∂x3∂y3∂z3

xyz

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x3 + y3 −3xy , x > 0.

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x2 +4y2 −12x +32y в области x2 +4y2 ≤ 25.

8. Найти условные экстремумы функции z = 2x2 +9y2 при x2 +9y2 =1.

65

9. Для данной поверхности z = x2 +2y2 составить уравнения касательной

плоскости и нормали в точке M(1,1 ,?).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = cos xsin y в окрестности точки (0,0).

Вариант №19

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

x

z = e

ln y .

y

2.

Найти производные сложных функций по каждой из независимых

переменных.

2.1.

z = uv ,

где

u = exy ,v = x2 − y2 ;

2.2.

z = x2 + y2 + xy ,

где

x = ctg(t), y = e−t .

3.

Вычислить приближенно

1

.032

, заменяя приращение функции

4 1.05

дифференциалом.

dy

4.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

x = y +arcctg(y) и

x

dx

∂z

, ∂z

для z − y e

= 0.

z

∂x

∂y

∂m+n+ku

5.Найти ∂xm∂yn∂zk , если u = 2x3y5z .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x4 + y4 − x2 −2xy − y2 , x > 0.

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = −xy + x2 y − xy2 +10 в области 0 ≤ x ≤1, −1 ≤ y ≤ 0.

8. Найти условные экстремумы функции z = −5xy при x +5y =1.

	9. Для данной поверхности	x2	+	y2	−	z2	=1 составить уравнения касательной
		a2		b2		c2

плоскости и нормали в точке M(a,b,c).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = sin(x − y) в окрестности точки (1,1).

Вариант №20

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= arctgxy .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

	2.1.	z = sin u cos v ,	где u =	x	,v =	y	;
				y		x

66

2.2.

z = 3

,

где y =

1

.

x + y3

x

3.

Вычислить приближенно

, заменяя приращение функции

5.012 +0.072

дифференциалом.

dy

4.

Найти производные от функций,

заданных неявно:

для

exy − x2 + y3

= 0 и

∂z

, ∂z

dx

для ln z = x + y + z −1.

∂x

∂y

5.Найти ∂∂x∂5uy4 , если u = e2 sin(x2 + yex ) .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = xy + 50x + 20y , x > 0, y > 0.

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x3 − y3 +3xy +3 в области 0 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = − 2x − 2y при x + y = 4 .

9.Для данной поверхности x2 + y2 + z2 = 2Rz составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M( R cosα, R sinα,? ).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z = cos(x − y) в окрестности точки (1,1).

Вариант №21

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= ln ctg(y / x) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = u

+

v

,

где u =

x

,v = xy;

v

x

3

u

y

2.2.

z = ln tg

,

где

x = t3 , y = 5 −2t.

y

3. Вычислить приближенно1.014

, заменяя приращение функции

15.8

дифференциалом.

dy

4. Найти производные от функций, заданных неявно:

для

x ln y − y ln x =1 и

∂z

, ∂z

dx

для 2x2 +2y2 + z2

−8xz − z +8 = 0.

∂x

∂y

5.Найти ∂∂x∂8uy7 , если u = (sin x + y)8 arcsin x .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 + xy + y2 −3x −6y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

67

z = 3x −2y −7 в области 0 ≤ x ≤			1 ,0 ≤ y ≤1,0 ≤ 3x + y ≤1.
			3
8.	Найти условные экстремумы функции z = −3x2 y при 2x +3y =1.
9.	Для данной поверхности		x2	+	y2	−	z2	= 0 составить уравнения касательной
	16			9		8

плоскости и нормали в точке M( 4,3, 4 ).

10. Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = sin(x +sin y) в окрестности точки (0,0).

Вариант №22

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= e− xy .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

	2.1.	z = uev +veu ,			где u = x2 + y2 ,v = x2 − y2 ;
	2.2.	z = ln tg	x	,	где x = t3 , y = 5 −2t.
			y

3.Вычислить приближенно arctg 1.02 −1 , заменяя приращение функции

0.95

дифференциалом.

4. Найти производные от функций, заданных неявно: dydx для

x2 sin y −cos y +cos 2y = 0 и

∂z

,

∂z

для exyz −arctg

xy

= 0.

∂x

∂y

z

5. Найти

∂9u

, если u =

1

+

1

+

1

.

∂x2∂y3∂z4

xy xz yz

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = 3x2 − x3 +3y2 +4y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = −xy +9 в области x2 + y2 ≤ 9.

8.Найти условные экстремумы функции z = −3x2 y при 2x −3y =1.

9.Для данной поверхности z = x3 + y3 составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M(1, −1,? ).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции z = cos(x +sin y) в окрестности точки (0,0).

Вариант №23

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z = xy + 3yx .

68

2. Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = uev ,

где

u =

x

,v = x + y;

y

2.2.

z = yx ,

где

x = sin

2 t, y =

t

.

t +1

3. Вычислить приближенно sin 31o tg44o , заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

∂z

4. Найти производные от функций, заданных неявно:

для

x + y = ex−y и

,

∂z для

dx

∂x

x2 + y2 + z2 = x3 y3 z3.

∂y

5.Найти ∂x∂28∂uy6 , если u = lny5x + x7 y .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = x2 + y2 −2ln x −18ln y .

7.Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = x +2y +5 в области −3 ≤ x ≤ −2, −1 ≤ y ≤ 0, −3 ≤ x − y ≤ −2.

8.Найти условные экстремумы функции z = 4xy при 2x +2y =1.

9.Для данной поверхности z = sin(xy) составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M(1,π/3,?).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z = (x − y) в окрестности точки (1,1).

x + y

Вариант №24

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z = sin xy cos xy .

2. Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = u3v3 +

u2

,

где v = tg

y

,u = ln(x2

+ y2 );

v2

x

2.2.

z = sin y ex ,

где x = cost, y = t2.

3.

Вычислить приближенно0.97 e1−1.052 , заменяя приращение функции

дифференциалом.

dy

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для

x +

+ y = a и

xy

∂z

, ∂z

dx

для x cos y + y cos z + z cos x =1.

∂x

∂y

5.Найти ∂∂x34∂uy , если u = cos(4xy) .

6.Исследовать на максимум и минимум функцию z = 2x3 − xy2 +5x2 + y2 .

69

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z =12x2 y +12 в области 4x2 +9y2 ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = −3x −2y при x2 + y2 =1.

9.Для данной поверхности z = ex+y составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M(1, −1,? ).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z = ln(x − y) в окрестности точки (1,0).

Вариант №25

1. Найти частные производные данной функции по каждой из независимых переменных x и y .

z= xy ln(x + y) .

2.Найти производные сложных функций по каждой из независимых переменных.

2.1.

z = veu ,

где

u = x + y,v = x cos y + y sin x;

2.2.

z = sin x ln y ,

где x =

, y =

1

.

t

t

3.

Вычислить приближенно

, заменяя приращение функции

sin2 1.55 +8e0.015

дифференциалом.

dy

y

4.

Найти производные от функций, заданных неявно:

для arctg

= ln x2

+ y2

dx

x

∂z ,

∂z

и

для x2 −2y2 + z2 −4x +2z −5 = 0.

∂x

∂y

5.

Найти

∂8u

, если u = x + x2 + x3 +2x4 + x7 y9

+ y10 .

∂x5∂y3

6.

Исследовать на максимум и минимум функцию z = xy −

1

.

2(x + y)

7.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции

z = −6xy +10 в области 4x2 +9y2 ≤1.

8.Найти условные экстремумы функции z = −2xy при −x +2y =1.

9.Для данной поверхности x2 + y2 + z2 =169 составить уравнения касательной плоскости и нормали в точке M(3, 4,12 ).

10.Найти три первых члена разложения по формуле Тейлора функции

z ln(ex y) в окрестности точки (1,0).

70