Arkhiv_ZIP_-_WinRAR / Chast_6_FNP

Пример варианта контрольной работы

1. Найти частные производные первого порядка по каждой из независимых переменных функции

f(x, y, z) = ln x + 2yz в точке M 0 (1,2,1) .

2.Для функции z = u +v2 , u = x2 +sin y , v = ln(x + y) найти частную производную z′y .

3.Исследовать функцию z = x3 +8y3 −6xy +5 на экстремум.

4.Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности S:

x2 y2 z2 6z 4x 8 0 в точке M0 (2,1, 1).

5. Проверить, удовлетворяет ли указанному уравнению данная функция u:

x2 ∂2u	+ 2xy	∂2u	+ y2 ∂2u	= 0 , u =	y	.
∂x2		∂x∂y	∂y2		x

71

Основные формулы

(в предположении о существовании всех выражений)

1. Частные производные сложной функции z = z(u,υ) , u =u(x, y) , υ =υ(x, y) :

∂∂xz = ∂∂uz ∂∂ux + ∂∂υz ∂∂υx , ∂∂yz = ∂∂uz ∂∂uy + ∂∂υz ∂∂υy .

2. Полная производная функции z = z(x, y) , y = y(x) :

dxdz = ∂∂xz + ∂∂yz dydx .

3. Полная производная функции z = z(x, y) , x = x(t) , y = y(t) :

dzdt = ∂∂xz dxdt + ∂∂yz dydt .

4. Дифференциалы функции z = f (x, y) :

dz =	∂z dx +	∂z	dy ;	d 2 z =	∂2 z dx2	+2	∂2 z	dxdy +	∂2 z dy2 .
							∂x∂y
	∂x	∂y			∂x2				∂y2

5.f (x +∆x, y +∆y) ≈ f (x, y) + ∂∂fx ∆x + ∂∂fy ∆y .

6.Производная от функции, заданной неявно F(x, y) = 0 :

dy	= − Fx′(x, y) .
dx		Fy′(x, y)
7. F(x, y, z) = 0 .
∂z			F′		∂z			Fy′
	= −		x	;			= −		.
∂x					∂y			Fz′
			Fz′

8. Экстремум функции z = f (x, y) .

Необходимые условия экстремума: fx′(x0 , y0 ) = 0, или не существуют.

f y′(x0 , y0 ) = 0

Достаточные условия экстремума:

Если ∆ =			fxx′′	fxy′′				, то
			f yx′′	f yy′′		x	,y	0
				0
(x0 , y0 )	– точка максимума, если ∆ > 0 ,								fxx′′	< 0 ;
(x0 , y0 )	– точка минимума, если ∆ > 0 ,								fxx′′	> 0 ;
в точке (x0 , y0 )				экстремума нет, если ∆ < 0 ;

если ∆ = 0 , нужно исследовать знак разности f (x, y) − f (x0 , y0 ) .

72

9. Условный экстремум:

z f (x, y),

0,

(x, y)

0,

f

x

x

Необходимые условия в методе Лагранжа: fy y

0,

(x, y) 0.

10. r ={x(t), y(t), z(t)}.

Вектор касательной:

dr

=

dx

,

dy

,

dz

dt

dt

dt

.

dt

x = x(t),

10.1. Уравнения касательной к линии L : y = y(t),

в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) :

z = z(t)

x − x0

=

y − y0 = z − z0 .

dx

dy

dz

dt

M0

dt

M0

dt

M0

10.2. Уравнения касательной в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) к линии, заданной

пересечением поверхностей L : Φ1 (x, y, z) = 0,:

Φ2 (x, y, z) = 0

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

.

Φ′

Φ′

Φ′

Φ′

Φ′

Φ′

1y

1z

1z

1x

1x

1y

Φ′2 y

Φ′2z

M0

Φ′2z

Φ′2x

M0

Φ′2x

Φ′2 y

M0

11. F(x, y, z) = 0 ,

M 0 (x0 , y0 , z0 ) .

Вектор нормали: n =

∂F

,

∂F

,

∂F

.

∂z

∂x

∂y

11.1. Касательная плоскость:

∂F

(x − x0 ) +

∂F

(y − y0 ) + ∂F

(z − z0 ) = 0 .

dx

M0

dy

M0

dz

M0

Уравнения нормали к поверхности:

x − x0

= y − y0

= z − z0 .

∂F

∂F

∂F

∂x

M

0

∂y

M0

∂z

M

0

11.2. z = f (x, y) .

Касательная плоскость:

z − z0

=

∂f

(x − x0 ) + ∂f

(y − y0 ) .

dx

M0

dy

M0

Уравнения нормали к поверхности:

x − x0

=

y −

y0

=

z − z0

.

∂f

∂f

1

− ∂x

M

−

∂y

0

M0

73

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Пискунов, Николай Семенович. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для студентов втузов : В 2 т. Т. 2 / Н. С. Пискунов. - Изд. стер. - М.: Интеграл-Пресс, 2004.

2.Математический анализ в вопросах и задачах. Функции нескольких переменных / В.Ф. Бутузов [и др.]. М.: Высшая школа, 1988.

3.Никольский, Сергей Михайлович. Курс математического анализа: учебник для студентов вузов / С.М. Никольский. - 6-е изд., стер. - М.: ФИЗМАТЛИТ,

2001.

4.Сборник задач по математике для втузов: В 4 ч. Ч. 2: Введение в анализ. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. Кратные интегралы. Дифференциальные уравнения / А. В. Ефимов, А. Ф. Каракулин, С. М. Коган и др.; под ред. А. В. Ефимова, А. С. Поспелова. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Физматлит, 2003.

74

Учебное издание

Вигура Марина Александровна Кеда Ольга Анатольевна Рыбалко Александр Федорович Рыбалко Наталья Михайловна Хребтова Оксана Константиновна

МАТЕМАТИКА

Часть 6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Редактор Н.П. Кубыщенко

Компьютерная вёрстка А.Ф. Рыбалко

____________________________________________________________________

Подписано в печать	27.09.2011		Формат 60x84 1/16
Бумага писчая	Плоская печать		Усл.печ.л. 4,30.
Уч.-изд.л. 3,5.	Тираж	экз.	Заказ

___________________________________________________________________

Редакционно-издательский отдел УрФУ 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19

ООО «Издательство УМЦ УПИ» 620002, Екатеринбург, ул. Мира, 17