- •27. Векторы на прямой, на плоскости, в пространстве. Геометрический смысл линейной зависимости.
- •Операции над векторами
- •28. Базисы и системы координат. Уравнение множества точек на плоскости и в пространстве: определение, примеры.
- •34. Линейные объекты в Rn: прямые, отрезки, гиперплоскости. Скалярное произведение в арифметических пространствах.
- •Уравнения прямой в пространстве:
- •Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
- •35. Гиперплоскости и полупространства. Выпуклые множества. Выпуклые многогранники.
- •36. Квадратичные формы: определения, примеры, матрица квадратичной формы и её свойства.
- •37. Приведение квадрат. Формы к каноническому и нормальному видам.
- •38. Закон инерции. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
- •39. Канонические уравнения и вид кривых второго порядка.
- •40. Поверхности второго порядка.
28. Базисы и системы координат. Уравнение множества точек на плоскости и в пространстве: определение, примеры.
Базисом на плоскости называются два любых неколлинеарных вектора этой плоскости, взятые в определенном порядке.
Пусть и – некоторый базис и – произвольный вектор, тогда существуют два единственным образом определенных числа x и y, такие, что
|
Числа x и y называются координатами вектора в данном базисе. В этом случае также пишут
Справедливы следующие свойства.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
При сложении 2х и больше векторов координаты почленно складываются.
34. Линейные объекты в Rn: прямые, отрезки, гиперплоскости. Скалярное произведение в арифметических пространствах.
Векторное (линейное) пространство - математическая структура, кот. формируется набором элементов, называемых векторами, для кот. определены операции сложения др. с др. и умножения на число - скаляр. Скаляром м.б.элемент вещественного, комплексного и любого др. поля чисел. Частным случаем векторов подобного пространства являются обычные евклидовы вектора, кот. используются для демонстрации физических сил.
Уравнения прямой в пространстве:
Векторное параметрическое уравнение прямой в пространстве, где - радиус-вектор некоторой фиксированной т. лежащей на прямой, - ненулевой вектор, коллинеарный этой прямой (её направляющимй вектор), -радиус-вектор произвольной точки прямой.
Параметрические ур-ния прямой в пространстве:где - координаты некоторой фиксированной т. лежащей на прямой; - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Каноническое ур-ние прямой в пространстве:где - координаты некоторой фиксированной т. лежащей на прямой; - координаты вектора, коллинеарного этой прямой.
Общее векторное ур-ние прямой в пространстве:
Поскольку прямая является пересечением 2х различных непараллельных плоскостей, заданных соответственно общими ур-ниями: и то ур-ние прямой можно задать системой этих урний:
Векторное ур-ние прямой в пространстве:
Ур-ние прямой в пространстве можно записать в виде векторного произведения радиуса-вектора произвольной точки этой прямой на фиксированный направляющий вектор прямой : , где фиксированный вектор , ортогональный вектору , можно найти, подставляя в это ур-ние радиус-вектор какой-нибудь 1ой известной точки прямой.
Отрезки. Обычно у отрезка прямой неважно, в каком порядке рассматриваются его концы: т.е. отрезки и представляют собой 1 отрезок. Если у ОТ. определить направление, т.е. порядок перечисления его концов, то такой отрезок называется направленным. Напр., выше указанные направленные отрезки не совпадают. Обобщение приводит к понятию вектора - класса равных по длине и сонаправленных направленных отрезков.
Отрезок прямой - мн-во вещественных чисел , удовлетворяющих нерав. , где заранее заданные вещ. числа и наз. концами отрезка. В противоположность им, остальные числа, удовлетворяющие , наз. внутренними точками отрезка. Отрезок обозначается : . Любой отрезок заведомо включён в мн-во вещественных чисел. Отрезок -замкнутый промежуток. Число наз. длиной числового отрезка .
Гиперплоскость - подпространство с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пр-тво. Напр., для 2мерного пр-тва гиперплоскость есть прямая (отражаемая ур-нием ), для 3хмерного - плоскость и т. д.
Ур-ние гиперплоскости: - нормальный вектор к гиперплоскости, тогда ур-ние гиперплоскости, проходящей через т. , имеет вид Здесь -скалярное произведение в пр-тве . В частном случае ур-ние принимает вид
Расстояние от т. до гиперпл.: - нормальный вектор к гиперпл., => расст. от т. до гиперпл. даётся формулой ( - произвольная т. гиперпл.).
Скалярное произведение на мн-ве геометрических векторов вводится, какСкалярное произведение любого вектора и какого-то единичного вектора есть проекция (ортогональная проекция) вектора на направление этого единичного вектора: Скалярное произведение м. б. записано через операцию ортогонального проецирования:(- проекция вектора на направление, - проекция вектора на направление).