36. Квадратичные формы: определения, примеры, матрица квадратичной формы и её свойства.
Квадратичной формой F(x1, x2,…, xn) от n неизвестных x1, x2,…, xn называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.
Сумма x12-2x1x2+3x3x1+4x22-2x1x3 является квадрат. формой от 3х неизвестных x1, x2, x3.
Каждую квадратичную форму можно записать в стандартном виде. Для этого сначала приведем подобные в квадратичной форме, затем обозначим коэффициент при xi2 через aii, а коэффициент при произведении xixk (i≠k)- через aik+aki причем aik=aki. Член(aik+aki) xixk запишем в виде aik xixk+aki xkxi. Теперь квадратичную форму можно записать в виде
F(x1,
x2,…,
xn)=a11x1x1+
a12x1x2+…+
a1nx1xn+
a21x2x1+
a22x2x2+…+
a2nx2xn+
an1xnx1+
an2xnx2+…
+annxnx1n=
Матрица
a11
a12
… a1n
А= a21 a22 … a2n
…………
an1 an2 … ann
называется матрицей квадратичной формы F. Т.к. aik=aki, то А - симметрическая матрица.
37. Приведение квадрат. Формы к каноническому и нормальному видам.
Определение. Вид квадратичной формы, содержащей только квадраты переменных:
f(x1,x2,…, xn)=c1x12+ c2x22+…+ cnxn2
называется каноническим.
Заметим, что матрица такой квадратичной формы будет диагональной.
Определение. Если для канонического вида квадратичной формы коэффициенты принимают значения или 0, то вид квадратичной формы называется нормальным.
Всякая квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду с помощью линейных преобразования переменных.
Способ приведения квадратичной формы к каноническому виду
1. если квадратичная форма не содержит квадратных переменных, то применим линейные преобразования, в результате получается квадр. форма c квадр. переменными;
2. далее дополним до полного квадрата, приводим форму к каноническому виду.
38. Закон инерции. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы, критерий Сильвестра.
Ранг, положительный и отрицательный индексы, а также сигнатура вещественной квадратичной формы не зависят от действительной невырожденной линейной замены переменных, приводящей квадратичную форму к каноническому виду.
Из теоремы следует, что 2 канонических вида 1ой квадратичной формы имеют:
а) одинаковое количество ненулевых слагаемых (определяется рангом квадр.формы);
б) одинаковое количество слагаемых одного знака.
Квадратичная форма F (æ) называется положительно определенной, если значение F (æ) на каждом ненулевом векторе α больше нуля, т.е. F(α)>0, если α≠θ, α∈Rn.
Если же F(α)<0 на каждом α≠θ, то квадратичная форма называется отрицательно определенной.
Критерий Сильвестра. Справедливы следующие утверждения.
Квадратичная форма F (æ)= æ (А æ) положительно определена тогда и только тогда, когда главные миноры матрицы А положительны.
Квадратичная форма F (æ)= æ (А æ) отрицательно определена тогда и только тогда, когда все главные миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны, а все главные миноры четного порядка положительны.