Векторное произведение. Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина
вектора 
равна
произведению длин векторов 
и 
на синус угла φ
между ними
;
вектор 
ортогонален каждому
из векторов 
и 
;
вектор 
направлен
так, что тройка векторов 
является правой.
Обозначение: 
.
Геометрически вект. произв. 
=
ориентированная площадь параллелограмма,
построенного на векторах 
,
представленная псевдовектором,
ортогональным этому параллелограмму.
Св-ва векторного произведения:
при
перестановке сомножителей В.ПР. меняет
знак (антикоммутативность),
т.е 
обладает сочетательным
св-вом относительно
скалярного множителя, т.е.
обладает распределительным
св-вом: 
35. Гиперплоскости и полупространства. Выпуклые множества. Выпуклые многогранники.
Гиперплоскость -
подпространство с размерностью,
на единицу меньшей, чем объемлющее
пр-тво. Напр., для 2мерного пр-тва
гиперплоскость есть прямая (отражаемая
ур-нием 
),
для 3хмерного - плоскость и т. д.
Ур-ние
гиперплоскости: 
- нормальный вектор
к гиперплоскости, тогда ур-ние
гиперплоскости, проходящей через т. 
,
имеет вид
Здесь 
-скалярное
произведение в
пр-тве 
.
В частном случае ур-ние принимает вид
Расстояние
от т. до гиперпл.: 
-
нормальный вектор к гиперпл., => расст.
от т. 
до
гиперпл. даётся формулой
(
-
произвольная т. гиперпл.).
Полупространство,
ограниченное гиперплоскостью α
- геометрическая фигура в пр-ве, для
которой выполняется следующее:
Эта фигура включает в себя плоскость α, но не сводится к ней.
Любой отрезок, ограниченный произвольными точками этой фигуры A и B, не принадлежащими α, не имеет пересечений с плоскостью α.
Любой
отрезок, ограниченный произвольными
точками этой фигуры A и B, где А принадлежит
α, а B - нет, имеет пересечение с плоскостью
α. Пусть 
будет
векторным пространством, 
линейной
формой,
тогда каждое число 
определяет
закрытое полупространство
Если неравенство строгое,
то полупространство
наз.открытым.
Выпуклые
множества. Мн-во (в аффинном или векторном пр-ве)
наз.выпуклым,
если оно содержит вместе с любыми
2мя точкамисоединяющий
их отрезок.
Пусть 
-аффинное или векторное пр-во
над полем вещественных
чисел 
.Мн-во 
наз.
выпуклым,
если вместе с любыми 2мя т. 
мн-ву 
принадлежат
все т. отрезка 
,
соединяющего в пр-ве 
т. 
и 
.
Этот отрезок можно представить как
Выпуклые подмножества мн-ва 
(мн-во
вещ. чисел) предст. собой интервалы из 
.
Примерами
выпуклых подмножеств в 2мерном
Евклидовом пр-ве (
)
явл. правильные
многоугольники.
Примерами
выпуклых подмножеств в 3мерном
Евклидовом пр-ве (
)
явл. Архимедовы
тела и правильные
многогранники.
Св-ва:
Выпуклое мн-во в топологическом линейном пр-ве явл. связным и линейно связным, гомотопически эквивалентным точке.
В терминах связности, выпуклое мн-во можно определить так: мн-во выпукло, если его пересечение с любой (вещественной) прямой связно.
Пусть
-
выпуклое мн-во в линейном пр-ве. Тогда
для любых элементов 
принадлежащих 
и
для всех неотриц. 
,
таких что 
,
вектор
принадлежит 
Вектор 
называется выпуклой
комбинацией элементов 
.Пересечение любого числа выпуклых мн-в явл. выпуклым мн-вом, таким образом выпуклые подмножества образуют полную сетку. Это так же означает и то, что любое подмножество
линейного
пр-ва содержится внутри малого выпуклого
мн-ва (выпуклой оболочки мн-ва 
),
т.е. пересечение всех выпуклых мн-в
содержит 
.Замкнутые выпуклые мн-ва м.б. определены как пересечения замкнутых полупр-в (мн-ва точек в пр-ве, кот. лежат только на 1ой части гиперплоскости). Из выше сказанного становится понятным, что такие пересечения явл. выпуклыми и замкнутыми мн-вами. Для доказательства обратного, т.е. что каждое выпуклое мн-во м.б. представлено в виде пересечения, можно использовать теорему об опорной гиперплоскости в форме в кот. для данного замкнутого выпуклого мн-ва
и
т. 
,
не принадлежащей ему, существует
замкнутое полупр-во 
,
содержащее 
и
не содержащее 
.
Теорема об опорной гиперплоскости
является частным случаем теоремы
Хана - Банаха из функционального
анализа.Теор. Хелли: Предположим в конечном семействе выпуклых подмн-в
,
пересеч. любых 
из
них непусто =>
пересечение всех подмн-в из этого
семейства непусто.Любое выпуклое мн-во единичной площади в
можно
целиком заключить в некоторый треугольник площади
2.