- •II. Функциональные последовательности и ряды
- •§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
- •2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
- •3. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
- •§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
- •1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
- •2. Интегрирование и дифференцирование
- •§4. Степенные ряды
- •1.Степенной ряд и область его сходимости
- •2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
- •3. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4. Непрерывность суммы степенного ряда
- •5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •§5. Ряд Тейлора
- •1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
- •2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
Теорема 1 (Критерий Коши). Для того чтобы последовательность имела предельную функцию и сходилась к ней равномерно наЕ, необходимо и достаточно, чтобы существовал, не зависящий отх, такой, что идля каждоговыполнялось неравенство
. (2)
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть S(x) на Е равномерно. Выберем . Согласно определению для:выполнено неравенство
. (3)
Пусть p – произвольное натуральное число. Тогда и
. (4)
Тогда, учитывая неравенствои соотношения (3), (4) получим:
.
Значит, неравенство (2) выполнено.
2) Достаточность.
Пусть .
При любом фиксированном х мы получим последовательность, для которой выполнен критерий Коши для числовой последовательности, т.е. числовая последовательность сходится к некоторой предельной функции для каждого. Поэтомусходится наЕ. Обозначим предельную функцию последовательности черезS(x). Возьмем произвольное фиксированное n>N и в неравенстве (2) станем неограниченно увеличивать p (при постоянных n и x). Переходя к получим, т.е.S(x) на Е.
3. Равномерная сходимость функциональных рядов
Пусть функциональный ряд (5) сходится на Е к S(x). Обозначим сумму остатка ряда через , где=. Тогда
. (6)
Определение 1. Ряд (5) называется равномерно сходящимся на Е к сумме S(x), если последовательность его частичных сумм равномерно сходится к S(x)на Е, то есть если Е
Sn(x)S(x).
S(x) на Е, если .
Из (6) следует, что . Следовательно, получаем эквивалентное определение.
Определение 2. Ряд (5) называется равномерно сходящимся на Е, если
Е
последовательность {Rn(x)} равномерно сходится к 0 на Е, т.е. 0.
То есть ряд (5) равномерно сходится на Е, если выполнено неравенство.
Пример 2. Доказать, что на [0;1] ряд
равномерно сходится к S(x)=0.
Δ Составим последовательность частичных сумм:
Последовательность равномерно сходится к функцииS(x)=0 на (пример 1). Поэтому ряд равномерно сходится к 0 на.Δ
Теорема 2 (Критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда). Для того чтобы ряд (5) равномерно сходится на множествеЕ необходимо и достаточно чтобы :n>N xE выполнено неравенство .
Доказательство.
Равномерная сходимость ряда (5) по определению эквивалентна равномерной сходимости последовательности его частичных сумм . А равномерная сходимость наЕ этой последовательности означает, что :n>N xE выполнено
4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
функционального ряда (признак Вейерштрасса)
Теорема 3. (Вейерштрасса). Пусть дан функциональный ряд . Если существует положительный сходящийся числовой ряд, такой, чтоимеет место неравенство, то ряд (5) сходится равномерно и абсолютно наЕ.
Доказательство.
1) Докажем, что ряд (5) сходится абсолютно на Е. Возьмем произвольное значение . В точкех0 ряд (5) превращается в числовой ряд (5). Для него выполнено . Так как ряд сходится, то по общему признаку сравнения ряд тоже сходится, значит, ряд (5) сходится абсолютно. Следовательно, ряд (5) абсолютно сходится в каждой точке х0 множества Е, поэтому он абсолютно сходится на множестве Е.
2) Докажем, что ряд (5) равномерно сходится на Е. Так как ряд сходится, то выполнен критерий Коши, то есть:выполнено. Тогда
.
На основании критерия Коши (теорема 2) ряд (5) равномерно сходится на Е.
Пример 4. Рассмотрим ряд . Очевидно,
.
Так как - положительный числовой сходящийся ряд, то по признаку Вейерштрасса ряд сходится абсолютно и равномерно на .