- •II. Функциональные последовательности и ряды
- •§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
- •2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
- •3. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
- •§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
- •1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
- •2. Интегрирование и дифференцирование
- •§4. Степенные ряды
- •1.Степенной ряд и область его сходимости
- •2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
- •3. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4. Непрерывность суммы степенного ряда
- •5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •§5. Ряд Тейлора
- •1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
- •2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
I. Формула Даламбера
Для нахождения можно использовать признак Даламбера абсолютной сходимости.
Пусть для степенного ряда (1) гдесуществует конечный пределТогда
.
Отсюда получаем:
ряд (1) абсолютно сходится для : ;
ряд (1) расходится для : .
Из определения радиуса сходимости получаем, что
Итак,
(2)
Если d=0, то , то есть ряд сходится на всей числовой оси, а значит,.
Если d=, то . Отсюда следует что, ряд расходится при любом, значитR =0.
II Формула Коши
Пусть для степенного ряда (1), где ,
Тогда или
(3)
(доказывается аналогично формуле Даламбера).
Алгоритм нахождения области сходимости степенного ряда.
Найти R по формулам (2) или (3) и интервал сходимости (если это сделать невозможно, то исследовать ряд как функциональный).
Исследовать сходимость в точках x=R и x=-R.
Указать область сходимости.
Пример 1. Найти область сходимости ряда
Δ Данный ряд является степенным с
1) Воспользуемся формулой Даламбера для вычисления R.
.
R=1, (-1;1) - интервал абсолютной сходимости.
2) Исследуем сходимость в точках х=1 и х=-1.
а) При получаем ряд.
Рассмотрим ряд - положительный. Сравним с рядом- сходится.
Следовательно, по частному признаку сравнения ряд сходится, значит, сходится ряд.
Поэтому, в точке данный ряд сходится (абсолютно).
б) При получаем рядзнакочередующийся ряд. Так как ряд, составленный из модулей членов этого ряда, сходится, то рядсходится абсолютно.
Поэтому, в точке данный ряд сходится абсолютно.
Ответ: область абсолютной сходимости.Δ
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Δ Данный ряд является степенным, .
1) Воспользуемся формулой Коши:
.
интервал абсолютной сходимости.
2) Исследуем сходимость в точках и.
а) . Получаем рядрасходится. Поэтому в точкеданный ряд расходится.
б) . Получаем ряд- знакочередующийся ряд.
Ряд из модулей расходится.
Условия теоремы Лейбница выполнены:
, .
Значит, ряд сходится условно, следовательно, в точкеданный ряд сходится условно.
Ответ: в ряд абсолютно сходится, в точкеряд сходится условно.Δ
Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда
Δ В данном ряде присутствуют только чётные степени :
Можно сказать, что данный ряд является степенным, в котором все коэффициенты с нечетными индексами равны 0. Формулы (2) и (3) были получены в предположении, что , поэтому, мы не можем ими воспользоваться для нахожденияR. Исследуем данный ряд как функциональный. Применим признак Даламбера абсолютной сходимости.
.
Значит, ряд абсолютно сходится при , т. е.x: и расходится при, т. е.x: .
интервал абсолютной сходимости.
Рассмотрим точки х=1 и х=-1.
При рядсходится, так кака рядсходится, следовательно, в точкахданный ряд сходится абсолютно.
Ответ: область абсолютной сходимости.Δ
Замечание. Рассмотрим степенной ряд (I) общего вида. Полагая получим ряд(II). Пусть R - радиус сходимости ряда (2). Тогда (II) абсолютно сходится в интервале Следовательно, ряд (I) абсолютно сходится при , то есть в интервале
Пример 4. Найти область сходимости ряда .
Δ .
1) .
, значит, ряд сходится в .
- интервал абсолютной сходимости.
2) :расходится.
: расходится.
Ответ: - область абсолютной сходимости. Δ