3. Равномерная сходимость степенного ряда

Теорема 3. Степенной ряд (1) с радиусом сходимости сходится равномерно и абсолютно на любом отрезкепринадлежащем интервалу сходимостиряда (1).

Доказательство.

Рассмотрим произвольный отрезок Ясно, чтоОбозначим черезТогдаТо естьвыполнено неравенствоТак както в точкеряд (1) сходится абсолютно, то есть сходится числовой рядТак какна отрезкето. Тогда по признаку Вейерштрасса ряд (1) сходится наабсолютно и равномерно.

4. Непрерывность суммы степенного ряда

Теорема 4. Сумма степенного ряда (1) непрерывна во всех точках интервала сходимости .

Доказательство.

Выберем произвольную точку из интервала сходимости (х₀:). Докажем, что сумма ряда (1) непрерывна в точкех₀.

Можно подобрать число так, чтобы, то есть. Так как, то по теореме 3 ряд (1) равномерно сходится на. Члены ряда (1) являются непрерывными функциями на. Следовательно, выполнены условия теоремы о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда (теорема 2 §3). Значит, сумма ряда (1) непрерывна на отрезке. Поэтому, она непрерывна в любой внутренней точке этого интервала. Следовательно, непрерывна и в точкех₀. Так как х₀ - произвольная точка из этого интервала сходимости, то теорема доказана.

5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

Теорема 5. Степенной ряд (1) с можно почленно интегрировать по любому отрезку, принадлежащему.

Доказательство.

Возьмём произвольный отрезок По теореме 3 ряд (1) равномерно сходится на отрезке. Функциинепрерывны на. Следовательно, ряд (1) можно почленно интегрировать на отрезке(теорема 4 §3.).

Замечание. Если степенной ряд (1) почленно проинтегрировать по какому – либо фиксированному промежутку , то получим числовой ряд:

(определенный интеграл по отрезку - это число).

Иногда представляет интерес интегрировать по отрезку с фиксированным началом и переменным концом. Например, по [0;x], где |x|<R. Тогда х: выполнено. Следовательно,

. (4)

Ряд (4) тоже является степенным. Его сумма равна интегралу от суммыряда (1). Так какнепрерывна на интервале, то существуетна, то есть существует сумма ряда (4)х: . Значит, ряд (4) сходитсях: .

Рассмотрим теперь ряд, составленный из производных ряда (1).

. (5)

Теорема 6. Степенной ряд (1) с можно почленно дифференцировать в любой точкеиз интервала сходимости.

Доказательство.

Докажем, что ряд (5) сходится в и что

, где . (6)

Возьмём . Для того чтобы доказать соотношение (6) будем пользоваться теоремой 6 из §3 о почленном дифференцировании функционального ряда. Докажем возможность её применения.

1. члены ряда (1) непрерывно дифференцируемы на ;

2. ряд (1) сходится абсолютно на , поэтому он сходится.

Проверим выполнение третьего условия теоремы.

По взятому х₀ подберём два положительных числа r₁ и r₂ так, чтобы . Покажем, что ряд (5) равномерно сходится на отрезке. Так как значениевходит в интервал сходимости, то ряд (1) абсолютно сходится в точке. То есть сходится ряд. Тогда по необходимому условию сходимости:. Следовательно, последовательностьограничена, то есть:выполнено неравенство.

Оценим общий член ряда (5) для :

.

Обозначим через . Тогда:выполнено

. (7)

Рассмотрим ряд положительный ряд. По признаку Даламбера

, значит, ряд сходится. Тогда из неравенства (7) по признаку Вейерштрасса следует абсолютная и равномерная сходимость ряда (5) на отрезке .

Итак, для ряда (1) выполнены все условия теоремы 6 §3 о дифференцировании функционального ряда. Следовательно, ряд (1) можно почленно дифференцировать и

.

Так как х₀ - произвольная точка из , то ряд (1) можно почленно дифференцировать на. Дифференцируя, получим:

Остаётся выяснить вопрос о том, каковы радиусы сходимости рядов (4) и (5).

Теорема 7. Радиусы сходимости рядов, полученных из степенного ряда (1) почленным интегрированием или дифференцированием совпадают с радиусом сходимости исходного ряда.

Доказательство.

Пусть соответственно радиусы сходимости рядов (1), (4) и (5). Из теорем 5 и 6 следует, что ряды (4) и (5) сходятся наи их суммы соответственно равны:

, , где.

То есть почленное интегрирование, и дифференцирование степенного ряда не уменьшает его радиуса сходимости:

Но ряд (1) можно получить почленным дифференцированием ряда (4), значит, , или почленным интегрированием ряда (5) и, поэтому,.

Следовательно, .

Пример 1. Найти сумму степенного ряда

. (*)

Δ Легко заметить, что члены ряда, являются производными от ,. Поэтому, рассмотрим ряд. (**) (геометрический ряд с первым членом 1 и знаменателем). Геометрический ряд сходится только при. Поэтому, радиус сходимости рядаравен 1.

Продифференцируем ряд :

;

Итак, сумма ряда равна, радиус сходимости его тоже равен 1. Δ

Пример 2. Найти сумму степенного ряда

. (*)

Δ Заметим, что в знаменателе каждого члена ряда есть множитель, совпадающий с показателем степени у . Значит, рядможет быть получен интегрированием какого – либо ряда (т.к.). Очевидно, это был ряд

Этот ряд является суммой геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем . Он абсолютно сходится при |x|<2 и

. (**)

Поэтому, радиус сходимости ряда .

Проинтегрируем почленно на отрезке, где:

;

.

Итак, радиус сходимости ряда и его сумма равна.Δ