- •II. Функциональные последовательности и ряды
- •§1. Функциональная последовательность и функциональный ряд. Область сходимости
- •§2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов
- •1. Равномерная сходимость функциональной последовательности
- •2. Критерий равномерной сходимости функциональной последовательности
- •3. Равномерная сходимость функциональных рядов
- •4. Достаточный признак равномерной и абсолютной сходимости
- •§3. Основные свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов
- •1. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда
- •2. Интегрирование и дифференцирование
- •§4. Степенные ряды
- •1.Степенной ряд и область его сходимости
- •2. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда
- •3. Равномерная сходимость степенного ряда
- •4. Непрерывность суммы степенного ряда
- •5. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов
- •§5. Ряд Тейлора
- •1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
- •2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
- •3. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора
§5. Ряд Тейлора
1. Бесконечная дифференцируемость суммы степенного ряда
Теорема 1. Сумма степенного ряда (1)сбесконечно дифференцируема в (a-R; a+R). При этом коэффициенты ряда (1) однозначно определяются значением суммы ряда и её производныхв точке. А именно
при этом
. (2)
Доказательство.
На основании теорем 6 и 7 §4 степенной ряд (1) в интервале (a-R; a+R) можно почленно дифференцировать сколько угодно раз. Причём, каждый раз получится степенной ряд с тем же , что и у ряда (1). Таким образом, на интервалеимеем
Полагая в этих равенствах , получим
Отсюда
(3)
Из (3) следует, что коэффициенты ряда (1) однозначно определены (в интервале сходимости) значениями суммы и её производных в точке.
Подставляя (3) в (1), получим (2).
2. Разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора
Определение. Если функция f(x) на каком-либо промежутке является суммой какого-либо степенного ряда, то говорят, что функция на этом промежутке разлагается в степенной ряд.
Теорема 2. Если функция f(x) на (a-R; a+R) разлагается в степенной ряд (1) , то она на (a-R; a+R) имеет непрерывные производные любого порядка.
Доказательство.
Т. к. функция f(x) является суммой ряда (1) на (a-R; a+R) то по т.1 f(x) бесконечно дифференцируема на (a-R; a+R). Очевидно, что на этом промежутке все производныенепрерывны.
Теорема 3. Если f(x) на (a-R; a+R) разлагается в степенной ряд (1) то это разложение единственно.
Доказательство.
Пусть . По т.1 коэффициенты в этом разложении определяются единственным образом черезпо формулам. Тогда
, (4)
и это разложение единственно.
Ряд (4) называется рядом Тейлора функции f(x), .
Т. о., если функция f(x) разлагается в степенной ряд на то этот ряд единственен, а именно, является рядом Тейлора функцииf(x).
Если a=0, то
-
ряд Маклорена функции .
Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема на (a–R, a+R). Для неё можно составить ряд Тейлора
.
Если ряд Тейлора сходится в окрестности точки a, то имеем 2 возможности:
сумма этого ряда S(x) совпадает с f(x);
сумма ряда S(x) не совпадает с f(x).
Найдём условия, при которых S(x)=f(x) в окрестности точки а. Для этого вспомним формулу Тейлора.
Пусть функция f(x)определена и исправна вместе со всеми своими производными до (n+1)-го порядка включительно на (a–R, a+R). Тогда справедливо:
,
где - остаточный член формулы Тейлора.
-
форма Лагранжа.
Сравнивая формулу Тейлора и ряд Тейлора для функции f(x), заключаем следующее: коэффициенты многочленов в формуле Тейлора и коэффициенты ряда Тейлора строится по одному правилу. Но в формуле Тейлора конечное число слагаемых, и последнее слагаемое резко отличается от всех предыдущих (в нем два переменных множителя: и). В ряде Тейлора все слагаемые однотипные, но их бесконечное множество.
Теорема 4 (необходимое и достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора). Для того, чтобы дифференцируемая на (a–R, a+R) функция f(х) разлагалась в ряд Тейлора на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора для функции f стремился к 0 при на этом интервале, т.е.
х(a–R, a+R).
Доказательство.
По условию функция f(x) бесконечно дифференцируема на (a–R, a+R),
(5)
И одновременно х(a–R, a+R) имеет место формула Тейлора
. (6)
1) Необходимость. Пусть f(x) разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R). Обозначим .
Тогда формула (6) запишется виде
f(x)=Sn(x)+Rn(x), (7)
где Sn(x) - n-я частичная сумма ряда Тейлора.
Т.к. f(x) разлагается в ряд Тейлора на (a–R;a+R), то . Тогда из (7) .
2) Достаточность. Пусть х(a–R, a+R).Тогда из (7) х(a–R, a+R).А это означает, что функция f разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R).
Этим необходимым и достаточным условием не всегда удобно пользоваться (громоздкое выражение для Rn(x), трудно определить стремится к 0 или нет). Сформулируем достаточный признак, в некоторых случаях более лёгкий для применения на практике.
Теорема 5 (достаточное условие разложения функции в ряд Тейлора). Пусть функция f(x) и все её производные f(n) ограничены в своей совокупности на (a–R, a+R), т.е. :х(a–R, a+R),выполнено
. (8)
Тогда функция f(x) на (a–R, a+R)разлагается в ряд Тейлора:
. (4)
Доказательство.
Для доказательства (4) достаточно показать, что остаточный член формулы Тейлора для f(x) на (а–R, а+R) стремится к 0. Возьмем остаточный член в форме Лагранжа и оценим его по модулю для |x–a|<R:
. (9)
Рассмотрим ряд - положительный ряд. По признаку Даламбера
.
Следовательно, ряд сходится. Отсюда=0.Тогда из неравенства (9) следует х(a–R, a+R). Следовательно,f(x) (по т.4) разлагается в ряд Тейлора на (a–R, a+R).