- •5.11. Вывод закона Ома
- •5.12. Вывод закона Джоуля - Ленца
- •5.13. Вывод закона Видемана Франца.
- •5.14. Основы квантовой теории проводимости металлов
- •5.15. Квантовые числа
- •5.16. Основы квантовой статистики
- •5.16.1. Статистика Бозе Эйнштейна
- •5.16.2. Статистика Ферми Дирака
- •5.17. Распределение электронов в металлах
- •5.18. Распределение электронов в металлах
- •5.19. Теплоемкость электронного газа
- •5.20. Число состояний. Плотность состояний
- •5.21. Эффективная масса электрона
5.19. Теплоемкость электронного газа
Согласно первому началу термодинамики
dU = Q pdV, (5.71)
где dU изменение внутренней энергии; Q количество теплоты, сообщенное телу; А= pdV работа, совершенная системой.
Согласно второму началу термодинамики Q = ТdS, где Т температура металла; dS изменение энтропии системы.
Известно, что энергия системы может изменяться и при изменении числа частиц N в ней, т. к. каждая частица, покинувшая систему, уносит с собой определенную энергию. С учетом этого закон сохранения энергии запишется в виде
dU = ТdS pdV + dN, (5.72)
где dN число частиц в системе; химический потенциал системы.
Рис. 5.16
Действительно, по определению dS = 0, dV = 0, dU = dN, т. е. распределение электронов описывается функцией ФермиДирака, если = WF при Т = 0К.
Внутренняя энергия одного моля электронного газа Uм,э = Nа<W>,
где <W> средняя энергия электрона в металле.
Молярную теплоемкость электронного газа найдем при V = сonst, no = сonst,
WF = сonst по формуле
. (5.73)
Следовательно,
. (5.74)
По классической теории теплоемкость электронного газа
Рис. 5.17
Найдем отношение теплоемкостей
.
Таким образом, вырожденный фермигаз имеет не значительную теплоемкость, так как квантовое распределение ФермиДирака мало чувствительно к температуре.
На рис. 5.16 и 5.17 приведены графики зависимости внутренней энергии и молярной теплоемкости от температуры.
5.20. Число состояний. Плотность состояний
В классической физике состояние частицы определяется заданием трех координат Х, У, Z и трех проекций импульса на оси координат рх, ру, рz.
Если рассмотреть 6мерное пространство с осями координат Х, У, Z, рх, ру, рz , то состояние частицы в нем в любой момент времени определяется фазовой точкой с координатами Х, У, Z, рх, ру, рz.
Такое пространство называют фазовым. Элемент этого фазового пространства координат обозначим ГV = dx dy dz. Элемент объема фазового пространства импульсов обозначим Гр = dрх dру dрz.
У квантовых частиц различным элементам объема шестимерного фазового пространства отвечают различные квантовые состояния микрочастицы, если размер этих элементов объема не меньше h3 (h постоянная Планка).
В квантовой статистике элементарный объем шестимерного фазового пространства (элементарная ячейка) ГV = h3, а элемент трехмерного пространства импульсов
, (5.75)
где V элементарный объем для свободной частицы, т. е. фазовое пространство квантуется.
Найдем число состояний частицы из интервала энергий (W, W + dW). Для этого проведем в пространстве импульсов две сферические поверхности с радиусами р и р + dp (рис. 5.18).
Рис. 5.18
Число элементарных ячеек в этом слое
. (5.76)
Поскольку каждой фазовой ячейке отвечает одно состояние микрочастицы, то число состояний, приходящихся на интервал dp, заключенный между р и p + dp, т. е. g(p) dp = z.
Если свободные частицы не взаимодействуют друг с другом, то энергия частицы
а ее изменение .
Тогда р2 =2mW; .
Следовательно, число состояний
. (5.77)
Таким образом, плотность состояний
. (5.78)
Замечание: Для электронов каждой фазовой ячейке соответствуют два состояния, отличающиеся друг от друга направлением спина, т. е. существуют спиновые состояния.
Следовательно, для электронов число состояний необходимо удвоить:
, (5.79)
. (5.80)
Плотность состояний
. (5.81)
Если функцию распределения Ферми Дирака
умножить на число состояний g(W)dW, то получим полную функцию распределения Ферми Дирака при Т = 0 К
. (5.82)
Так как в интервале энергий от 0 до WF функция распределения Ферми-Дирака fф = 1, то после интегрирования (5.82) в пределах от 0 до WF получим число частиц
. (5.83)
Учитывая, что n0 = N / V концентрация электронного газа в металлах, получим формулу энергии Ферми:
. (5.84)
Зная функцию распределения электронов по энергиям можно найти среднюю энергию электрона при Т = 0 К: .
Максимальная скорость электронов на уровне Ферми
или vF 106 м/c.
Средняя квадратичная скорость
.