5.14. Основы квантовой теории проводимости металлов

В квантовой механике, как и в классической статистической физике, закономерности поведения частиц имеют статистический и вероятностный характер. Однако в квантовой механике необходимость статистического описания поведения ансамбля частиц является следствием корпускулярно-волнового дуализма частиц материи, открытого Луи де Бройлем.

Квантовая теория для объяснения электропроводности металлов учла все особенности новых свойств электронов:

1. электрон отрицательно заряженная частица q_e =  1,610^{- 19} Кл;

2. электрон имеет массу покоя m_e = 9,1110^{- 31} кг;

3. заряд электрона инвариантен и не зависит от скорости движения;

4. электрон имеет двойственную корпускулярноволновую природу;

5. электрон относится к тождественнонеразличимым частицам;

6. электрон имеет собственный момент импульса L_sz ≠ 0;

7. электрон имеет спиновое магнитное число

m_s =  1/2 (спин S =1/2); (5.59)

1. электроны имеют собственный магнитный момент р_ms ≠ 0;

2. электроны описываются статистикой ФермиДирака, являются фермионами с полуцелым спином.

5.15. Квантовые числа

В квантовой механике состояние электрона описывается набором квантовых чисел: главное квантовое число n = 1, 2, 3, ... ; характеризует энергию электрона в атоме; орбитальное квантовое число 0, 1, 2, 3, ... , n1; характеризует энергию взаимодействия электронов; магнитное квантовое число= 0,1,2,3, ... ,; характеризует проекцию момента импульса; спиновое квантовое число m_S=1/2 ( спин S =1/2).

При заполнении электронами энергетических состояний (уровни энергии) для фермионов выполняется принцип Паули:

В данной системе тождественных фермионов любые два из них не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

При равных значениях квантовых чисел n, ,электроны должны иметь противоположно направленные спины. Заполнение электронами энергетических уровней происходит при одновременном выполнении трех условий: а) электроны должны иметь вполне определенные значения квантовых чисел n,,, m_s; (5.60)

б) соответствовать минимуму энергии;

в) подчиняться принципу запрета Паули.

5.16. Основы квантовой статистики

В отличие от классической квантовая статистика строится на принципе неразличимости тождественных частиц, например, электронов в атоме.

Квантовой статистикой называют метод исследования квантовой системы, состоящей из большого числа частиц.

Основная задача квантовой статистики  нахождении функции распределения частиц квантовой системы по координатам, импульсам, энергиям.

5.16.1. Статистика Бозе  Эйнштейна

Частицы со спином s = 0 или целым кратным : s = 0,, 2, ... ,

[]. Такие частицы называют бозонами: например, фотоны, квазичастицы фононы, куперовские пары электронов в сверхпроводниках, ядра атомов и т. д. Собственный момент импульса L_sz =±2mħ/2, где m =0, 1, 2, … . Поведение бозонов описывается статистикой Бозе  Эйнштейна. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули.

Функция Бозе  Эйнштейна  среднее число частиц в данном состоянии,

, (5.61)

где W_i  энергия iй частицы; W_F  энергия Ферми, которую рассчитывают по формуле

 = . (5.62)