5.13. Вывод закона Видемана  Франца.

Основатели классической теории проводимости металлов пытались теоретически получить закон Видемана - Франца:

 /  = Const. (5.49)

При постоянной температуре для всех металлов отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности является величиной постоянной.

Исследования Лоренца показали, что

 /  = LT, (5.50)

где L - константа Лоренца.

Из молекулярно-кинетической теории известно, что коэффициент теплопроводности  = , (5.51)

где с_v - удельная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме;

 = mn₀ - плотность одноатомного газа.

Если молярная масса газа М = mN_a, то

 с_v =, (5.52)

где R - универсальная газовая постоянная; k - постоянная Больцмана.

Следовательно,

 =. (5.53)

Подставив значение коэффициентов теплопроводности из (5.53) и электропроводности из (5.49) в (5.52), получим закон Видемана - Франца в виде  /  = k m<u>² / q²

Из молекулярно-кинетической теории следует, что u v_кв =.

Тогда окончательно получим

 /  = 3k²T / q², (5.54)

где константа Лоренца L =.

Несмотря на то, что классической теории удалось получить законы Ома и Джоуля-Ленца при выводе закона Видемана-Франца встретились серьезные трудности. Значение константы L значительно расходилось с экспериментальными данными.

Для металлов бериллия и марганца закон Видемана - Франца не выполняется.

Попытки Лоренца уточнить теорию, используя классическую статистику Максвелла-Больцмана, не дали результатов. Действительно, сильно упрощенная классическая теория проводимости металлов не могла учесть всех особенностей свойств электрона, которые были получены позднее.

Например, 1) согласно теории удельное сопротивление

,

что противоречит экспериментальным данным;

2) средняя длина свободного пробега электронов значительно больше и состаляла сотни периодов кристаллической решетки, т. е. электроны значительно реже испытывают столкновения с ионами;

3) более значительные затруднения теории возникли при объяснении теплоемкости металлов.

Молярная теплоемкость металлов определяется молярной теплоемкостью кристаллической решетки С_реш и молярной теплоемкостью электронного газа С_эл, т. е. С = С_реш + С_эл. Ионы, образующие кристаллическую решетку проводника, совершают тепловые колебания около узлов кристаллической решетки. Любой ион имеет три колебательные степени свободы и характеризуется в среднем энергией колебательного движения W_koл = 3 kT.

Тогда внутренняя энергия одного моля ионов U_реш = N_a 3kT = 3RT.

Следовательно, теплоемкость решетки (закон Дюлонга и Пти)

. (5.55)

Теплоемкость электронного газа С_эл = 3R/2, (5.56)

Таким образом, полная теплоемкость металл

С_эл = 9R/2. (5.57)

Согласно экспериментальным данным молярная теплоемкость металлов почти не отличается от молярной теплоемкости кристаллических диэлектриков при нормальных условиях и находится по формуле С = 3R, т. е. электронный газ практически не имеет теплоемкости.

Трудности классической теории удалось преодолеть после создания качественно новой квантовой теории проводимости металлов, предложенной Зоммерфельдом в 1928 г. В своей теории он использовал статистику Ферми-Дирака. Согласно выводам квантовой теории константа L в законе Видемана-Франца L =, (5.58)

что хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В квантовой теории учтено влияние периодического электрического поля на движение электронов, созданного ионами кристаллической решетки, нарушения этой периодичности за счет тепловых колебаний ионов, наличия примесей и т. д.