Замечание

Если 2(k1) и 2(k2) независимые случайные величины, имеющие распределение 2 с k1 и k2

степенями свободы соответственно, то сумма этих случайных величин имеет распределение2 с k1+ k2 степенями свободы:

2(k1) + 2(k2) = 2(k1+k2)

Распределение 2(k) при больших

значениях k (k>30) с достаточной для практических расчетов точностью приближается нормальным распределением.

11

Распределение Стьюдента

Распределением Стьюдента с k степенями свободы называется распределение случайной величины Т(k), равной

	T k		U
			2	k
				k

где U имеет нормальное распределение N(0, 1). Величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы будет также обозначаться t(k).

12

Замечание

Для приближенного выражения квантилей 2p(k1) распределения 2(k1) через квантили uр нормального

	распределения N(0,1)			используют следующие две
	формулы:		k 12				2
		p2		u p 2k 1

– формула применяемая при k 30 и р 0.5
2		2		2		3
			u p
p
	k k 1	9k
				9k

– формула применяется для вычисления квантилей

малого порядка.

13

Плотность распределения Стьюдента

k = ∞ – нормальное распределение

14

Плотность распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента с k степенями свободы имеет плотность

k 1

k 1

2

2

x

2

fT x

1

, x

k

k

k

2

M T k 0

D T k

k

, k 2

k

2

15

Замечание

Плотность распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат, следовательно, для квантилей tp(k) имеет место соотношение

tp(k)= – t1 –p(k).

При больших k (k>30) для квантилей tp(k) распределения Стьюдента выполнено приближенное равенство

tp(k) ≈ up.

16

Распределение Фишера

Распределением Фишера с k1 и k2 степенями свободы называется распределение случайной величины F(k1, k2), равной

2 k1

F k1, k2 2 k2 k1 . k2

17

Плотность распределения Фишера

k1=6 k2=60 k1=6 k2=6

18

Плотность распределения Фишера

Распределение Фишера с k1 и k2 степенями свободы имеет плотность распределения

					0,															x 0
		k1			k2										k					k
															1					1	1
					2										2			x		2
fF x												k1										,	x 0
	k
					k				2		k										k1 k2
		1											2						k1		2
		2					2										1
																			k2

19

Матожидание распределения Фишера

	M F k1,k2	k2		, k2 2
		k2	2

20