- •5. Расчет простейших цепей при синусоидальных токах и напряжениях
- •5.1. Общие и методические замечания
- •5.2. Электрическая цепь синусоидального тока и ее схема
- •5.3. Ток и напряжение при последовательном соединении r, l, с
- •5.4. Комплексное сопротивление
- •5.5. Ток и напряжения при параллельном соединении r, l, с
- •5.6. Комплексная проводимость
- •5.7. Смешанное соединение приемников
- •5.8. Пассивный двухполюсник
- •Р е ш е н и е
- •Р е ш е н и е
- •5.9. Мощность в цепи синусоидального тока
- •5.10. Расчет мощности в цепи переменного тока. Баланс мощности
- •5.11. Измерение активной мощности ваттметром
- •Задачи для самостоятельного решения (к главе 5)
5.3. Ток и напряжение при последовательном соединении r, l, с
Пусть в схеме рис.5.3, состоящей из последовательно соединенных сопротивления R, индуктивности L, емкости С, известен ток При последовательном соединении сопротивлений ток, протекающий через каждый элемент, имеет одно и то же значение.
Уравнение для этой цепи имеет вид
Подставим значение тока в это уравнение
Из полученных выражений для ur, uL, uC видно, что напряжение на сопротивлении r совпадает по фазе с током, напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол /2, а напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол /2.
На рис. 5.4 показаны кривые мгновенных значений тока и напряжений для частного случая, когда амплитуда напряжения та катушке больше амплитуды напряжения на конденсаторе иi > 0. Синусоида иr совпадает по фазе с синусоидой тока, а синусоиды иL и иС сдвинуты относительно тока на угол /2 соответственно влево (опережение) и вправо (отставание). Ордината кривой напряжения состоит из суммы ординат кривыхиr + иL + иC = и. Запишем комплекс действующего значения тока и комплексы действующих значений напряжений на основании выражений для мгновенного тока и мгновенных напряжений: где действующее Значение тока
В выражениях для иучтено, что
Сумме синусоидальных напряжений соответствует сумма изображающих их векторов или комплексов их действующих значений напряжений
Это соотношение представляет собой уравнение по второму закону Кирхгофа, записанное в комплексной или векторной форме. Представим его на векторной диаграмме рис. 5.5. Напряжение ur соответствует по фазе с током i, поэтому вектор изобразим одинаково направленным с вектором. НапряжениеuL опережает по фазе i на /2, поэтому вектор сдвинем относительно векторана угол/2 «вперед» (против направления движения часовой стрелки). Напряжение uC отстает по фазе от i на /2, поэтому вектор сдвинем относительно векторана угол/2 «назад» (по направлению движения часовой стрелки). Эти соображения о взаимном расположении векторов напряжения и тока непосредственно следуют из записи выражений комплексных напряжений ,,и тока.
Действительно, вектор получается умножениемна вещественную величинуr. Аргумент комплексной величины такой же, как комплексного тока, поэтому направление векторасовпадает с направлением вектора. Вектор получается умножениемна . Умножение тока на вещественную величину не изменяет аргумента, а умножение на увеличивает аргумент на /2. Следовательно, вектор повернут относительно векторана угол/2 «вперед». Вектор получается делениемна . Деление комплексной величины на не изменяет аргумента, а деление на j, что равносильно умножению на , уменьшает аргумент на /2. Следовательно, вектор повернут относительно векторана угол/2 «назад».
Так как умножение и деление вектора на j приводят к повороту вектора на /2 соответственно «вперед» и «назад», то множитель j часто называют оператором поворота на /2. Сложив векторы , и , получим вектор. Его длина определяет действующее напряжение, а положение относительно координатных осей – начальную фазу u.
Решим, ту же задачу аналитически. Напомним, что был задан ток . На основании последних выкладок можно записать:
Или
где – комплексное сопротивление.
Это соотношение между комплексными напряжениями и током называют законом Ома в комплексной форме. Записав комплексные величины в показательной форме, имеем
Где
Получаем
Заметим
Так как ито
Таким образом, амплитуда Um и начальная фаза u напряжения на зажимах цепи определены, и можно записать выражение для мгновенного напряжения