- •Готовимся к экзамену по матану
- •1. Основные теоремы дифф. Исчисления: Теорема Ферма (необходимое условие экстремума для гладких функций).
- •2. О.Т.Д.И.: теорема Ролля. (Мишель Ролль — фр. Математик (1652–1719))
- •3. О.Т.Д.И.: теорема Лагранжа. (:Жозеф Луи Лагранж — великий фр. Математик и механик (1736–1813)).
- •4. О.Т.Д.И.: теорема Коши-Лагранжа. (обобщение теоремы Лагранжа). (Огюстен Луи Коши — фр. Математик (1789–1857) хорошо, что умер, а то убила бы!)
- •5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0,∞/∞. (Гильом Франсуа де Лопиталь — фр. Математик (1661–1704))
- •6. Определение производных и дифференциалов высших порядков.
- •9. Общий план исследования функций. Теорема о достаточных условиях монотонности функции на интервале.
- •10. О.П.И.Ф.: Экстремумы функции. Теоремы о необходимом (формулировка) и достаточном условии экстремума дифференцируемой и непрерывной функции на интервале.
- •11. О.П.И.Ф.: Определение выпуклости вверх (вниз) функций. Теорема о достаточных условиях выпуклости вверх (вниз) дважды дифференцируемой функции.
- •12. О.П.И.Ф.: Определение точки перегиба. Теорема о достаточных условиях существования точки перегиба.
- •13.О.П.И.Ф.: Определение асимптоты функции. Виды асимптот.
- •14. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.
- •15. Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции. Непрерывность.
- •16. Предел функции. Непрерывность функции многих переменных.
- •32. Понятие несобственного интеграла.
5. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида 0 / 0,∞/∞. (Гильом Франсуа де Лопиталь — фр. Математик (1661–1704))
Пусть две функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы всюду в некоторой окрестности точки α за исключением, быть может, самой точки α. Пусть, далее, и производнаяотлична от нуля всюду в указанной выше окрестности точки α. Тогда, если существует (конечное или бесконечное) предельное значение, то существует и предельное значение, причем справедлива формула=(1). Теорема дает нам правило для раскрытия неопределенностей вида 0/0, сводящее вычислениеlim отношения двух функций к вычислению lim отношения их производных.
Док-во: Пусть {xg} — произвольная последовательность значений аргумента, сходящаяся к α и состоящая из чисел, отличных от α. Будем рассматривать эту последовательность, начиная с того номера n, с которого все xn принадлежат окрестности точки α, указанной в формулировке теоремы. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке α, положив их равными нулю в этой точке. Тогда, очевидно, f(x) и g(x) будут непрерывны на всем сегменте [α, xn] и дифференцируемы во всех внутренних точках этого сегмента. Кроме того отлична от нуля всюду внутри этого сегмента. Т.О. для f(x) и g(x) на сегменте [α, xn] выполнены все условия теоремы Коши-Лагранжа. Согласно этой теореме внутри сегмента [α, xn] найдется т. С такая, что . Учитывая, что по нашему доопределению,, мы можем следующим образом переписать формулу(2). Пусть теперь в этой формуле. Тогда, очевидно, Сn→α. Так как мы предположили существование предела отношения производных функций, правая часть при обязана стремиться к этому предельному значению. Стало быть, существует предел прии левой части. По определению предельного значения функции этот предел равен. Таким образом, в пределе приравенство (2) переходит в равенство (1). Теорема доказана.
6. Определение производных и дифференциалов высших порядков.
Опр.: назовем производной первого порядка функции f(x). Пр-я от про-ной некоторой функции называется производной второго порядка, или второй производной этой функции. Про-я от 2-й пр. называется третьей пр-й, и т.д. Производной начиная со второй называются пр. высших порядков и обозначаются. Производнаяn-нога порядка является производной порядка, т.е. . Физич. смысл: 1-я производная — мгновенная скорость точки в момент времени х, вторая производная — скорость изменения скорости, т.е. ускорению движущейся точки в этот момент.
Дифференциалы высших порядков. Опр.: Дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Д-лd (dy) от дифференциала dy называется д-лом второго порядка функции f(x) и обозначается d2y, т.е. . Д-л d(d2y) от д-ла d2y называется д-лом 3-го порядка функции f(x) и обозначается d3у и т.д. Д-л от д-ланазывается д-лом энного порядка функции f(x) и обозначаетсяdny. Дифференциал энного порядка индуктивно определяется по формуле: откудат.е. энная производная у=f(x) в некоторой точке х равна отношению энного д-ла этой функции в точке х к д-лу аргумента в степениn.
7. Многочлен Тейлора (Брук Тейлор — английский математик (1685–1731)) для данной функции в данной точке. Теорема о формуле Тейлора с остаточным членом в формуле Пеано (Джузеппе Пеано — итальянский математик (1858–1932) и в форме Лагранжа.
Основная формула мат. анализа. Теорема. Пусть функция имеет некоторой окрестности точки α производную порядка (n — любой фиксированный номер). Пусть, далее, х — любое значение аргумента из указанной окрестности, р — произвольное положительное число. Тогда между точками α и х найдется точка ξ такая, что справедлива формула: , где. Эта формула называется формулой Тейлора, а выражениеRn+1(х) — называется остаточным членом (записанным в общей форме). Ве остальное кроме остаточного члена называется пэ энное ,
Частными случаями формулы Тейлора являются след. представления остаточного члена:
Преобразуем формулу остаточного члена. Поскольку точка ξ лежит между точками α и х, то найдется такое число θ из интервала 0 < θ < 1, что ξ - α = θ (х - α). При этом Таким образом, формула может быть переписана в виде:
1. при этом условии остаточный член приводится к форме Лагранжа.. Наиболее употребительная форма. Для подсчета погрешностей.
2. остаточный член в форме Коши.(на всякий случай)
3. Пусть функция f(x) имеет производные порядка (n - 1) в некоторой окрестности точки α и производную порядка n в самой точке α. Тогда справедливо следующее равенство (форма Пеано!): При поиске пределов, где не важна погрешность, а важна функция (беск. малая, беск. большая...)
4. Формула Маклорена (Колин Маклорен — английский математик (1698–1746)) — формула Тейлора с центром в точке α = 0. Т.о., формула Маклорена дает представление функции в окрестности точки х = 0. Выглядит следующим образом:
8. Представление функций ℮х, sin x, cos x, ln (1+ x), (1+ x)m по формуле Тейлора. Применение формулы Тейлора для вычисления пределов и значений функций.
По Тейлору: .По Маклорену:.
, где остаточный член в форме Лагранжа равен:
По Тейлору:
По М.: гдеn — нечет число, ост. член тэта от 0 до 1
По Т.:
По М.:, гдеn — четное число, ост. член как в синусе, но вместо sin cos.
По Тейлору:
Энная производная по нат. логарифму имеет вид:
По Маклорену.: , ост. член Лагранжа:
По Т: +По Маклорену:,
В частном случае, когда а=n — целое число, остаточный член равен нулю, мы получим известную из элементарного курса формулу бинома Ньютона. Напр. , последний множитель раскладываем по этой формуле.
Внимание: могут спросить формулу остаточного члена. Подставлять в формулу производную энной степени, взяв вместо n число n+1. В синусе и косинусе энный член от эн плюс два, т.к. производной от предыдущего не существует.
Применение формулы Маклорена: вычисление значений функций, вычисление пределов функций. Примеры:
,