14. Функции нескольких переменных. Область определения. Линии уровня.

Опр.: Функцией 2-х переменных называется отображение f сопоставляющее упорядоченной паре чисел , которые принадлежат плоскостичислоz причем единственным образом. f →R,

Опр2.: Множество Ω которое содержится в плоскости такое что для любыхсуществует называется областью определения функции.

Опр. 3: Графиком функции 2-х переменных называется поверхность в множество упорядоченных четверок чисел), т.е. геометрическое место точек с координатами

Опр. 4: Линиями уровня функцииназывается мн-во точек на пл-ти (0ху) удовлетворяющие уравнению

Геометрический смысл линий уровня: Проекции сечений вида z = С на плоскость . Аналогично вводится понятие для ФМП.

Опр. 1: Функцией n переменных будем называть отображение f которое сопоставляет упорядоченному набору из n действительных чисел действительное числоz, причем единственным образом. f →R

Опр. 2: Областью определения функции называется множество

Опр. 3: Графиком функции называется множество точек в пространстветаких, что координаты их удовлетворяют соотношению:для любых, принадлежащих Ω.

15. Окрестность точки. Предельная точка. Открытое и замкнутое множество. Область. Замкнутая область. Предел функции. Непрерывность.

Опр.: ипсилон окрестностью точки М, принадлежащейназывается множество точек М, координаты которых удовлетворяют условию:. Обозначение:

Опр.: ипсилон окрестностью точки называется множество точек, координаты которых удовлетворяют условию:

Опр.: точка Мназывается предельной точкой множества омега, если для любого ипсилон больше нуля ипсилон-окрестность точки М, пересеченная с множеством омега не равно пустому множеству. см. рис.

Множество омега содержащее все предельные точки называется замкнутым. Множество омега, такое, что для любой точки М принадлежащей множеству омега существует ипсилон больше нуля, такое, что называется открытым. Тогда множество омега называется областью.

Множество точек М плоскости называется открытой областью, 1) если каждая точка этого множества является его внутренней точкой. 2) если любые две точки множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой также приналежат М. Если к открытой область присоединить всю ее границу, то получится множество, называемое замкнутой областью. Применяется и общий термин область, обозначающий оба варианта, а также открытую область с частью границы.

Скорее всего множество может состоять из нескольких "кусочков", а область — это когда все точки связаны.

Предел. Опр.: пределом функции в точке называется число А, если,откудаили

Пределом функции в точке) называется число А, конечное, если для любого ипсилон больше нуля существует дельта больше нуля, такая, что Мпринадлежит дельта-окрестности точки М₀ , или. Обозначение:

Опр.: функция непрерывна в точке М₀, если

Опр.: функция непрерывна в точке М₀, если

16. Предел функции. Непрерывность функции многих переменных.

см. все в предыдущем билете

Теорема: Свойства непрерывных функций многих переменных на замкнутых множествах.

Пусть — замкнутое множество(подразумевается любое пространство). Тогда:

1) ограничена на, т.е. существуетm больше нуля, такое, что М принадлежащейследует:

2) существуют числа M, m, такие, что следует:

3)

17. Частные приращения и частные производные. Дифференцируемость Ф.М.П. Полный дифференциал, его связь с частными производными. Геометрический смысл полного дифференциала.

опр.: Приращением функциив точке М0 с координатаминазывается выражение

опр.: частным приращением функции 2-х переменных Z=f(x,y) по Х в точке Мназывается выражение, частным приращением по у соответственно

опр.: Частной производной функции по х называется, если он существует. Частной производной функциипо у называется, если этот предел существует.

Геометрический смысл: Частная производная равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к функции с плоскостью

18. Частные производные и частные дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора.

19. Дифференцирование сложной функции от двух переменных.

20. Неявные функции. Теорема существования. Дифференцирование неявных функций.

21. Экстремумы ФМП. Необходимое условие экстремума Ф.М.П.

22. Э. Ф.М.П. Достаточные условия экстремума функции. 2-х переменных.

23. Квадратичные формы N-ного порядка. Матрица квадратичной формы. Критерий Сильвестра.

24. Э.Ф.М.П.: Достаточные условия экстремума функций м.п.

25. Постановка задачи об условном экстремуме.

Основная постановка задачи: Найти экстремумы данной функции , где

26. Функция Лагранжа. Множители Лагранжа. Теорема о необходимых и остаточных условиях условного экстремума.

27. Первообразная и неопределенный интеграл. Св-ва неопределенного интеграла.

Опр. 1: Первообразной для данной функции , определенной на интервалеI называется функция такая, что .

Теорема: Все первообразные ,... для функции на интервале I отличаются на С, т.е. =+ С.

Доказательство по теор. Лагранжа: , тогда.

Теор. 2: Множество первообразных называется неопределенным интегралом.

Свойства неопределенного интеграла:

1.2.3.

28. Таблица первообразных

			+ C
	1/x	1/x	+C
℮^x	℮^x	℮^x	℮^x + C
sin x	cos x	cos x	sin x + C
cos x	-sin x	sin x	-cos x
tg x			tg x + C
ctg x			-ctg x + C
arctg x			arctg x + C
arcsin x			arcsin x + C - arccos x + C

29. П. и Н.И.: Формула интегрирования по частям.

Пусть каждая из функций f(x) и g(x) д-ма множестве Х и, кроме того, на этом множестве существует первообразн. для ф-и g(x)   f '(x). Тогда на мн-ве Х существует первооб. для ф-и f(x)g '(x), причем верна ф-ла: . Замечание: Определение дифференциала и свойство инвариантности его формы позволяет записать формулу в виде:. Формула сводит вопрос о вычислении интегралак вычислению интеграла. Применяется для интегралов вида:.

Например: .u= arctg x dv= xdx, отсюда: , v=x²/2.

30. П. и Н.И.: Формула замены переменных под знаком интеграла.

Пусть функция определена и дифференцируема на некотором множестве {х} и пусть {t } — множество значений этой функции. Пусть далее для функции существует на множестве {t} первообразная функция , т.е.. Тогда всюду на мн-ве {х} для функциисуществует перв-я функция, равная, т.е.

Док-во путем интегрирования формулы для сложной функции. — первообразная , тогда— первообразная функции , что и требовалось доказать.

Например: . Заменяемcos x на t.

31. Определенный интеграл и его связь с первообразной. Формула Ньютона-Лейбница.

/ не обязательно, будут спрашивать определения/ Задача, приводящая к понятию опр. интеграла.

Опр. 1: Разбиением отрезка [ a, b ] называется последовательность отрезков , где индексi изменяется от 0 до n-1 включительно, так что

Опр. 2: Радиусом разбиения λ называется максимум длин этих отрезков, λ=maxΔ i , где i меняется от 1 до n-1, где Δ i=

Опр. 3: Интегральной суммой функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется любая сумма вида:

Опр. 4: Определенным интегралом функции f(x) на отрезке [ a, b ] называется предел интегральных сумм при λ → 0, где , если этот предел существует, не зависит от способа разбиения, не зависит от выбора ξ_i

Теорема: (О достаточных условиях интегрирования функции) если функция f(x) кусочно-непрерывная на [ a, b ] , т.е. имеет конечное число разрывов 1-го рода, то она интегрируема на [ a, b ] т.е. существует предел интегральных сумм , существует.

Геометрический смысл: Площадь криволинейной трапеции ограниченной функциями у=f(x), х=α, х=b и осью Оу.(При f(x) > 0

Свойства неопределенного интеграла: 1.2.3.(аддитивность)

4.(линейность) 5.

/надо для ответа./ Опр.: Интегралом с переменным верхним пределом называется интеграл вида:

Теорема (Барроу (вечно живой (годы жизни неизвестны))) Пусть f(x) непрерывна на [ a, b ] тогда

Теор.: (Формула Ньютона-Лейбница (Исаак Ньютон — ученый (1642–1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ и математик (1646–1716))) Пусть f(x) кусочно-непрерывна на [ a, b ] , тогда она имеет первообразную функцию Доказательство:по св-ву опр. интеграла №1откудаотсюда получаем

формула интегрирования по частям в этом свете: .

При замене переменных меняются и границы интегрирования.