Высшая математика. Том 2

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Национальный горный университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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x → π 4 cos 2x

ln(9 − 2x2 )

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☆

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, , !

. ;

lim u	v	=	#	∞	,	lim u (x)= 1	lim v(x)= ∞ .
			1
x→a						x→a	x→a

" :

1) ) u = 1 + f (x) ,

! , -

lim uv = lim

x→a x→a

=# lim (1 + f

x→a

(1 + f (x))v =

	lim
(x))	1 f ( x) x→a

#% lim !

x→a !,

# f ( x) v

(		(		))	1 f ( x) & f ( x) v
(	+ f	(	x	))			=
1	+ f		x			−	=
						−

			#			( f (x) v)
= exp			! lim			( f (x) v)
			x→a

%	f (x)= u − 1, lim u	v	= exp	#
%	f (x)= u − 1, lim u		= exp	! lim
	x→a			x→a

(v (u − 1)) .

lim

4n2 + 4n −1

&1−2n

4n2 + 2n + 3

n→∞ ,

−

3 - "

lim u

(v (u − 1)) :

= exp ! lim

&1−2n

x→∞

4n2

+ 4n − 1

# ∞

4n2

+ 4n − 1

lim

= exp lim

− 1

(1 − 2n)

n→∞

+ 2n + 3

−

, x→∞ ,

−

(4n2

+ 4n − 1 − 4n2 − 2n − 3) (1 − 2n)

(

2n − 4

)

1 − 2n

)

= exp lim

(

+ 2n + 3

, x→∞

+ 2n

+ 3

−

x→∞

−

lim

2n − 4n2 − 4 + 8n &

−4n2 + 10n − 4

= e−1 = 1

= exp

= exp lim

+ 2n

+ 3

+ 2n + 3

, x→∞

−

, x→∞

−

2) ) -

" (aloga x = x), (elnx = x). + ! x

" u , u = eln u uv = ev ln u . % " ex

, " . . :

lim u	v	= lim e	v ln u	= exp	#	(v ln u) .
					! lim
x→∞		x→a			x→a
1 "			, " u v

lim

x→a

% " lim

1 − x sin2 x

)

1ln(1+π x3 ).

x→0 (

3 - "

lim u

= exp

(v ln u) :

! lim

x→a

)

ln (1 − x sin

ln 1+π x3

# ∞

lim

1 − x sin

(

) = 1

= exp

lim

x→0

(

! x→0

ln (1 + π x

)

ln (1 + u)

) "

lim

= 1

x→a u

sin u = 1 :

ln (1 − x sin

π x3

− x sin2 x

= exp ! lim

lim

! x→0

(− x sin

x→0

ln (1 + π x

)

x→0

π x3

%		1		sin2 x &				1
= exp	−		lim				=		.4
					2			1
		π x→0		x
,						−		e π

2.26. ! " 2.9

, ’

% .

% n + 1 &n

% 2n + 3 &n+1

lim

n → ∞ , n − 1 −

n → ∞ , 2n + 1

−

% n2

− 1

&n4

% n − 1

&n+ 2

lim

n → ∞ , n

−

n → ∞ , n + 3

−

lim

2n2 + 2

&n2

n → ∞

+ 1

−

&n / 2

% n2 − 3n

+ 6

lim

n → ∞

+ 5n

+ 1

, n

−

lim

6n − 7

&3n+2

n → ∞

6n + 4 −

11.

% n2 + n

+ 1

&−n2

lim

n → ∞

+ n

− 1

, n

−

13.

% n − 1

&n2

lim

n → ∞

, n + 1

−

15.

lim

3n + 1

&2n+3

3n − 1

n → ∞

−

17.

% n + 3

&n+ 4

lim

n → ∞

, n + 5

−

19.

lim

2n2 + 21n − 7

&2n+1

n → ∞

+ 18n + 9

−

21.

3n2 − 5n

&n+1

lim

n → ∞

− 5n + 7

−

23.

lim

2x2 + 5x − 3

= −7.

x + 3

x → -3

25.

lim

7n2 + 18n − 15

&n+2

n → ∞

+ 11n + 15

−

27.

% n3 + n

+ 1

&2n2

lim

n → ∞

−

29.

lim

2n2 + 2n + 3

&3n2 −7

n → ∞

2n + 1

−

31.

4n2 + 4n − 1

&1−2n

lim

n → ∞

+ 2n + 3

−

6.	lim	%	3n2		− 6n + 7			&−n+1	.

				2
			3n		+	20n − 1
	n → ∞ ,							−
8.	lim	% n − 10				&3n+1	.

			n +		1
	n → ∞ ,					−

10.

lim

3n2 +

4n − 1

&2n+5

2n + 7

n → ∞ ,

−

12.

lim

2n2 +

5n + 7

5n + 3

n → ∞ ,

−

14.

5n2 +

3n − 1

&n2

lim

3n + 3

n → ∞ ,

−

16.

lim

2n2 +

7n − 1

&−n2

3n − 1

n → ∞ ,

−

18.

lim

% n3 + 1

&2n−n3

− 1

n → ∞ , n

−

20.	lim	%	10n − 3			&5n
			10n − 1			.
	n → ∞ ,					−
22.		% n + 3		&−n2
	lim			.

	n → ∞ , n + 1			−
24.		% n + 4		&n
	lim			.

	n → ∞ , n + 2			−
26.	lim	%	2n − 1		&n+1
			2n + 1		.
	n → ∞ ,				−
28.		%	13n + 3				&n−3
	lim						.
			13n − 10
	n → ∞ ,						−
30.		% n + 5		&n / 6+1
	lim						.

	n → ∞ , n − 7			−

2.27. & ' $ #$

6 lim	u ( x)	=	0	. ) u ( x)
			0
x→a g ( x)

g ( x) " -

limsin u = u ;	limtg u = u ;	limln (1 + u) = u ;		lim(1 − cosu) = u2 / 2
x→0	x→0	x→0		x→0
lim(eu − 1) = u ;	limarcsin u = u ;	limarctg u = u ;		u → 0 x → 0 .
x→0	x→0	x→0
5 " -
x = 0 . # , ! a ≠ 0 ,
x − a = t		t → 0	(! a = 0 ,

). , -

" , -

" .

% "

lim

1 − sin 2x

x→π 4

(π − 4x)2

1 − sin 2x

x − π

= t

3 lim

lim

(π − 4x)

− 4x)

x = t

x→π

x−π

→ (π

= lim

1 − sin (2t + π 2)

= lim

1 − cos 2t = lim

2sin2 t =

t→0

(π − 4t − π )2

t→0

16t2

t→0

16t2

2.28. ! " 2.10

, ’

% " .

1.lim x2 − 1.

x→ 1 ln x

3.lim 1 + cos3x .

x→ π sin2 7x

2.	lim	x2 − x + 1 − 1	.
2.	lim	ln x	.
	x → 1	ln x
4.	lim	1− sin 2x .
	x →π 4	(π − 4x)2

lim

1 + cosπ x .

x → 1

tg2π x

lim

sin2 x − tg

(x − π )4

x → π

lim

cos5x − cos3x .

x → π

sin2 x

11.

lim

sin 7π x .

x →

2 sin 8π x

13.

lim

x2 − 3x + 3 − 1

sinπ x

x →

5x−3

−

2x2

15.

lim

x →

tgπ x

17.

lim

ln 2x − lnπ

x →

2 sin(5x 2)cos x

19.

lim

eπ − ex

x →

π sin 5x − sin 3x

21.

lim

1 − 24− x2

2( 2x − 3x2

x →

− 5x + 2)

23.

lim

tgπ x .

x →

-2 x + 2

25.

lim

1 − 2cos x .

x →

π 3

π − 3x

27.

lim

(2x − 1)2

x →

1 2 esinπ x − e− sin 3π x

29.

lim

3 −

10 − x .

x →

sin 3π x

31.

lim

cos3x − cos x

x →

tg2 2x

6.	lim			tg3x .
	x → π 2			tgx
8.	lim		x2 − x + 1 − 1			.
				tgπ x
	x → 1
10.	lim			sin 7x − sin 3x .
	x →	2π		ex2 − e4π 2
12.	lim			ln(5 − 2x)		.
				10 − 3x − 2
	x →	2
14.			x2 − π 2
	lim				.

	x →	π		sin x

16.lim 2x − 16 .

x→ 4 sinπ x

22.lim 3 x − 1.

x→ 1 4 x − 1

24.	lim	1 − sin(x 2) .
	x → π	π − x
26.	lim	arctg(x2 − 2x)	.
26.	lim	sin 3π x	.
	x → 2	sin 3π x

28.lim cos(π x2) .

x→ 1 1 − x

30. lim	sin 5x .
x → π	tg3x

2.29. ! " 2.11

, ’ ,

% " .

1.lim % sin 2x &1+ x .

x→ 0, x −

3.lim % sin 4x &2( x+2) .

x→ 0, x −

5.lim (cos x)x+3 .

x→ 0

7.		% ln (1 + x) &				x ( x+2)
	lim					.

			6x
	x → 0	,			−
		% ex3 − 1		&(8x+3) (1+ x)
9.	xlim→ 0					.
			x2

		,		−

11. lim	% sin 6x &2+ x
11. lim		.
x →	0 ,	2x −

13.lim % sin 2x &x2 .

sin 3

x→ 0, x −

15.			%	x3 + 8		&x+ 2
	lim					.
	lim			3x2 + 10		.
	x →	0	,	3x2 + 10		−
17.	lim		%	22x − 1	&x+1
17.	lim				.
	x →	0		x
	x →	0	,	x	−

19.lim % 11x + 8 &cos2 x .

12 + 1

x→ 0, x −

	% ln (1 + x2 )&3 ( x+8)
21. lim					.

		x	2
x → 0		x
	,			−

23.lim % arcsin x &2( x+5) .

x→ 0, x −

25.	lim	0	(ex + x)cos x4 .
	x →	0
27.			%	% π	&	&	(ex −1)	x
	lim		%	% π	&	&		.
	lim		tg		− x			.
	x →	0	,	, 4	−	−

2.lim % 2 + x &x .

3 −

x→ 0 , x −

		%	e	3x	− 1	&	cos2	(π	4	+ x)
4. lim		%		3x		&			4	.


x →	0			x
x →	0	,		x		−

6.lim % x2 + 4 &x2 +3 .

→0 x + 2

x, −

8.lim % tg4x &2+ x .

x→ 0 , x −

10.			% x + 2		&cos x
		lim					.

	x	→ 0	, x + 4		−
			% ex2 − 1			&6 (1+ x)
12.	xlim→ 0						.
				x2

			,			−
14.		lim	%	%	+	π	& &x+ 2
			tg x			3	.
	x	→ 0	,	,			− −

16.lim (sin ( x + 2))3(3+ x) .

x→ 0

18.lim % x4 + 5 &4( x+ 2) .

→0 x + 10

x, −

20.lim % x3 + 1 &2( x+1) .

→0 3 + 8

x, x −

22.lim % cos x &1+ x .

x→ 0 , −

24.lim % arc tg3x &x+2 .

x→ 0, x −

26.	lim		% sin 5x2 &1 ( x+6)
26.	lim								.
	x →	0			sin x
	x →	0	,		sin x		−
28.	lim		%	6	−	5		&tg2 x	.

						cos x
	x →	0 ,				cos x		−

29.

1 + 8x

(x2 +1)

30. lim

arcsin2 x

&2x+1

lim

x → 0 , 2 + 11x −

x →

, arcsin

4x −

31.lim % x3 + 4 &1 ( x+2) .

→0 3 + 9

x, x −

2.30. .!

; " ' , ! " , ( . 2.12).

) " " =f(x) , ! -

" : !

x0, " =f(x) -

"		x0, f(x0).
7 =f(x) #-
x0, ! -
,
	lim f ( x) = f ( x0 ) .
	x→ x0
	x→ x0
# , , !
" x0, ! -
	:
1) x0 2. 2.12. " " = f(x)
;
2) x > x0;			x0.
3) "			x0.
. : lim f ( x) = f % lim x & ,				lim x = x . 1 -
	x→ x0	, x→ x0	−	0
	x→ x0	, x→ x0	−	x→ x0

, ! , ! " x ' x0, -

" x x0.

, ! " = 3x2 x0.

3 lim	# f ( x) − f ( x		)	= lim	#3x2	− 3x		2	= 0 .4
x→ x		0		x→ x			0
0				0
+ ! " y=f(x)								( ;

b), < b, , ! " # .

( " .

% # 12. + ! " f(x) g(x) x0,

.(x)= f(x)+ g(x) " x0.

1 - . % # 13. " " . % # 14. 2 " "

, ! .

+ ! " = f(u), u = .(x),

! " u, -

) " : y = sin x3 = sin u, u = x3;

= etg x = eu, u = tg x.

# , " -

, " , x

" .

, .

% # 15. + ! " u = .(x) x0

u0 = .(x0), " f(u) u0,

" / = f(.(x)) x0.

$ .

% # 16. $ " , ,

- , ! " =f(x) x0

0, f(x0) : 0, " f(x) -

x0 , ! f(x0), ! f(x0)> 0,

( >

0, ! (x0 – (; x0 + () f(x)> 0 (

" f(x) -

, ! "

f ( x) = 5x2 + 5 x = 8

(

δ (ε ) ).

3 ),

ε > 0

δ (ε ) , !

f ( x) − f ( x0 )

< ε

x − x0

< δ (ε ) .

5x2 + 5 −

(5 82 + 5)

5x2 − 320

= 5

x2 − 64

< ε .

% x2 − 64 < ε

( x − 8)( x + 8)

< ε

x − 8 < ε

f ( x) − f (x0 )

< ε

x − x < δ (ε ) = ε

2.31. ! " 2.12

, ’

, ! "

f ( x) x0 ( δ (ε ) ).

1. f ( x) = 5x

2 −1, x = 6.

2. f ( x) = 4x2 − 2, x = 5.

3. f ( x) = 3x

2 − 3, x = 4.

4. f ( x) = 2x2 − 4, x = 3.

5. f ( x) = −2x2 − 5, x = 2.

6. f ( x) = −3x2 − 6, x = 1.

7. f ( x) = −4x2 − 7, x = 1.

8. f ( x) = −5x2 − 8, x = 2.

f ( x) = −5x2 − 9,

f ( x) = −4x2 + 9,

= 3.

10.

= 4.

f ( x) = −3x2 + 8,

f ( x) = −2x2 + 7,

11.

= 5.

12.

= 6.

f ( x) = 2x2 + 6,

f ( x) = 3x2 + 5,

13.

= 7.

14.

= 8.

f ( x) = 4x2 + 4,

f ( x) = 5x2 + 3,

15.

= 9.

16.

= 8.

17.

f ( x) = 5x2 + 1, x = 7.

18.

f ( x) = 4x2 − 1,

= 6.

f ( x) = 3x2 − 2,

f ( x) = 2x2 − 3,

19.

= 5.

20.

= 4.

21.

f ( x) = −2x2 − 4,

x = 3.

22.

f ( x) = −3x2 − 5,

= 2.

f ( x) = −4x2 − 6,

f ( x) = −5x2 − 7,

23.

= 1.

24.

= 1.

f ( x) = −4x2 − 8,

f ( x) = −3x2 − 9,

25.

= 2.

26.

= 3.

f ( x) = −2x2 + 9,

f ( x) = 2x2 + 8,

27.

= 4.

28.

= 5.

f ( x) = 3x2 + 7,

f ( x) = 4x2 + 6,

29.

= 6.

30.

= 7.

f ( x) = 5x2 + 5,

31.

= 8.

2.32. (

" , x

a ,

" -

, x

, .

" , -

, ! x a, -

2. 2.13. %

, ( . . 2.13). # -

+ ! f(x) b x ,
! x , , lim f ( x) = b . )
		x→a−0
b f(x) , .
# , b " y=f(x) x'a -
, !, %,	( ( ),
! x (δ ,a)		f ( x) − b	< ε .

5, ! x>a ,

lim f ( x) = b . ) b " .

x→a+0

# b y=f(x) x'a , !,

%, ( ( ), !

x (δ , a) f ( x) − b < ε .

- , ! " f(x)

, " .

) 1: 2 "

y=f(x), [0,4] -

, . 2.14.

- " f(x)

x>3.
- , !			( x −1) = 2
lim	f ( x) =	lim	( x −1) = 2	,
x→3−0	x	→3−0
lim f ( x) =	lim (3 − x) = 0 .
x→3+0	x→3−0

) 2:

2. 2.14. " "

x − 1,		! 0 ≤ x ≤ 3,
f ( x) =	− x,	! 3 ≤ x ≤ 4.
3

lim

+ 2

→ 0

− 0} {1

→ −∞}

= !{x

x → 0 = 1

x→0−0

−

lim

+ 2

+ 0} {1

→ +∞}

= ∞ .

= !{x → 0

x → ∞

x→0+0

−

) 3:

lim

85− x = {x → 5 − 0}

{5 − x →

0 + 0}

→ +∞

= ∞ .

x→5−0

5 − x

100

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