Высшая математика. Том 2

2.7.& ' # # #

# #

% # 4. + ! " f(x) x' a, " -

1/f(x) x'a.

) 1: -

lim

1

.

x→+∞ x2 + 1

3 7 y=x2+1 x'+* . 5

1

" ! " y =

–

x2 + 1

x'+*, lim

1

= 0 . 4

x→+∞ x2 + 1

1

) 2: 3 lim

e− x =

lim

= 0 .4

x→+∞

x→+∞ ex

$ .

% # 5. + ! " f(x) – x'a ( x'*)

, y=1/f(x) " .

) 1:	3 lim	1	= ∞ .4
	x→0	x
) 2: 3 lim sin x = lim				% sin x 1 &						= [ " × -
] =0.4	x→∞	x	x→∞	,					x −
			lim% 5 − 6				1
) 3:	-				+				& .
							x2
			x→∞ ,	x					−
3 % "			− 6			1			–	x'+*,
						x2
			x

	− 6	+	1	, " " . 7 -
			x2
	x			6	1

xx2 " . %,

1 " :5 − +

	lim%	5	− 6	+	1	&	= 5 .4
					x2
	x→∞ ,		x			−

71

# , -

" :

A: 0.

A ∞ = ∞ , A0 = ∞ , ∞A = 0 , ∞ + A = ∞ , +∞ + ∞ = +∞ .

2.8. % #

% # 6. ,

" "

lim

#

+

g ( x)

=

lim f ( x)

+

lim g ( x)

f ( x)

x→a

x→a

x→a

x2

+ 2x

%

2 &

2

3 lim

= lim 1

+

= lim 1 + lim

= 1

+ 0 = 1.4

x2

x→∞

x→∞ ,

x −

x→∞

x→∞ x

% # 7. , " -

" :

lim

#

g ( x)

=

lim f ( x)

lim g ( x)

f ( x)

x→a

x→a

x→a

1. ) :

lim c

f ( x) = c lim f

( x)

x→a

x→a

2. :

lim

#

n = #

n

f ( x)

! lim f ( x)

x→a

x→a

3lim5x3

= 5 lim x3 = 5 8 = 40 .4

x→2

x→2

% # 8.

"

" , !

lim

f ( x)

=

lim f ( x)

, ! lim g ( x) ≠ 0 .

x→a

lim g ( x)

x→a g ( x)

x→a

x→a

) 1: 3lim 3x + 5 x→1 4x − 2

lim(3x + 5)

= x→1

lim(4x − 2)

x→1

3		lim x + 5		3 1 + 5		8	= 4 .4
=		x→1	=		=
	4	lim x − 2		4 1 − 2		2
		x→1

72

) 2: 3 lim

x→2

x − 2

2 + x

	=	lim	( x − 2)	=	0	= 0 .4
		x→2			2
		lim	2 + x
		x→2

) 3:

3 2

lim

x

. ) x'1

x→1 x − 1

1, 0. 5, lim( x − 1) = 0 , ( –1) -

x

x→1

" x'1, lim

= ∞ .4

x

−

1

x→1

% # 9. 6 "

f(x), u(x) v(x), ! -

u(x),f(x), v(x). + ! " u(x)

v(x)

x'a ( x'*), " f(x)

,

!

lim u ( x) = lim v( x) = b ,

lim f ( x) = b

x→a

x→a

x→a

( . . 2.10).

2. 2.10. ) 4

% # 10. + ! x'a ( x'*) " y=f(x) -

-0 b,

: b-0.

% # 11. + ! " f(x) g(x) x

f(x) - g(x) :
lim f ( x) = b ,		lim g		( x) = c , b-c.
x→a		x→a
		2.9. () ),
				! # * )
6 :
lim	Pk (n)		,	P	(n) = a nk + a			nk −1 + + a n + a ,
n→∞ Qm (n)				k		k	k −1		1	0
					(n) = b nm + b nm−1
				Q					+ + b n + b .
# Pk (n)				m		m		m−1	1	0
			–					k (
nk )		Q	(n) – m ( -
		m
		nm ).						Pk (n)
)

73

nk . % Pk (n) = nk p(n) , p(n) = ak + ak −1 / n + + a1 / nk −1 + a0 / nk .

)

Qm (n) -

nm . % Qm (n) = nm q(n) ,

q(n) = bm + bm−1 / n + + b1 / nm−1 + b0 / nm .

P

(n)

nk p(n)

# lim

k

=

lim

.

n→∞ Qm (n)

n→∞ nm q(n)

% , !:

Pk (n)

! k > m ,

lim

= ∞ ;

n→∞ Qm (n)

!

k < m ,

lim

Pk (n)

= 0 ;

n→∞ Qm (n)

!

k = m ,

lim

Pk (n)

= lim

p(n)

=

ak

.

n→∞ Qm (n)

n→∞ q(n)

bm

) 1: - :

lim

(2n +1)2 − (n +1)2

n2 + n +1

.

n → ∞

3 lim

(2n + 1)2 − (n + 1)2

=

lim

4n2 + 4n + 1 − n2 − 2n − 1 =

n → ∞

n2 + n + 1

n

→ ∞

n2 + n + 1

lim

3n2 + 2n

.

n → ∞ n2 + n + 1

2 %

1 &

n

+ 2

3

3

%

k = m , :

lim

,

n −

=

= 3.4

2 %

1

1

&

1

n → ∞

n

1 +

+

n

n2

,

−

) 2: - :

lim

n 6 n + 3 n10 +1

.

n → ∞ (n + 4 n ) 3 n3 −1

n n

1

10 %

1

&

n

6 n + 3 n10 +1

6 + 3 n

1+

n10

3 lim

=

lim

,

−

=

(n

4

n )

3 3

%

1

&

3 %

&

n → ∞

+

−1

n

→ ∞

+ n

4

−

1

3

n

n

n

3 n 1

,

−

,

n

−

74

7

10

3 s3

1+ 1

10

%

1

+ 3 1+ 1

&

n

6

+ n

n10

n

3

10

lim

= lim

,

6 n13

n

−

=

%

&

&

n → ∞

2

1

1

n

→ ∞

n

2

%

1

1

n

3

3

1−

3

1

+

3

3 1−

3

1+

4

,

4

−

,

n

−

n

n

n

10

3

(0

+1)

n

4

3 = ∞ .4

%

k > m ,

lim

= lim

n

n

2 (

+

0

)

3

1− 0

n

→ ∞

n

→ ∞

1

2.10. ! " 2.2

, ’

,

.

% .

1.

lim

(

3 − n)2 + (3 + n)2

.

2.

lim

(3 − n)4 − (2 − n)4

.

(

3 − n)2 − (3 + n)2

(1 − n)4

− (1 + n)4

n → ∞

n → ∞

3.

lim

(

3 − n)4 − (2 − n)4

.

4.

lim

(1 − n)4 − (1 + n)4

.

(1 − n)3 − (1 + n)3

(1 + n)3

− (1 − n)3

n → ∞

n → ∞

5.

lim

(6 − n)2 − (6 + n)2 .

6.

lim

(n + 1)3 − (n + 1)2

.

n → ∞

(6 + n)2 − (1 − n)2

n → ∞

(n − 1)3 − (n + 1)3

7.

lim

(1 + 2n)3 − 8n3

.

8.

lim

(3 − 4n)2

.

(1 + 2n)2 + 4n2

(n − 3)3

− (n + 3)3

n → ∞

n → ∞

9.

lim

(3 − n)3

.

10.

lim

(n+1)2 + (n−1)2 −(n+ 2)3

.

(n + 1)2 − (n + 1)3

n → ∞

n

→ ∞

(4− n)3

11.

lim

2

(n + 1)3 − (n − 2)3

.

12.

lim

(n + 1)3 + (n + 2)3

.

n

→ ∞

n2 + 2n − 3

n

→ ∞ (n + 4)3 + (n + 5)3

13.

lim

(n + 3)3 + (n + 4)3

.

14.

lim

(n + 1)4 − (n − 1)4 .

n

→ ∞

(n + 3)4 − (n + 4)4

n

→ ∞ (n + 1)3 + (n − 1)3

15.

lim

8n3 − 2n

.

16.

lim

(n + 6)3 − (n + 1)3

.

(n + 1)4 − (n − 1)4

+ (n +

4)2

n

→ ∞

n

→ ∞ (2n + 3)2

17.

lim

(

2n − 3)3 − (n + 5)3

.

18.

lim

(n + 10)2 + (3n + 1)2

.

n

→ ∞

(3n − 1)3 + (2n + 3)3

n

→ ∞ (n + 6)3 − (n + 1)3

75

19.	lim		(2n + 1)3 + (3n + 2)3						.
	n → ∞		(2n + 3)3 − (n − 7)3
21.	lim		(2n + 1)3 − (2n + 3)3							.
	n → ∞		(2n + 1)2 + (2n + 3)2
23.	lim		(n + 2)4 − (n − 2)4				.
			(n + 5)2 + (n − 5)2
	n → ∞
25.	lim		(n + 1)3 − (n − 1)3		.
	n → ∞		(n + 1)2 − (n − 1)2
27.	lim		(n + 2)3 + (n − 2)3			.
	n → ∞		n4 + 2n2 − 1
29.	lim		(n + 1)3 + (n − 1)3	.
	n → ∞		n3 + 1
31.	lim		(2n + 1)2 − (n + 1)2					.
			n2 + n + 1
	n → ∞

	20.	lim	(n + 7)3 − (n + 2)3						.
			(3n + 2)2 + (4n + 1)2
		n → ∞
	22.	lim	n3 − (n − 1)3	.
			(n + 1)4 − n4
		n → ∞
	24.	lim	(n + 1)4 − (n − 1)4			.
			(n + 1)3 + (n − 1)3
		n → ∞
	26.	lim	(n + 1)3 − (n − 1)3				.
		n → ∞	(n + 1)2 + (n − 1)2
	28.	lim	(n + 1)3 + (n − 1)3		.
		n → ∞	n3 − 3n
	30.	lim	(n + 2)2 − (n − 2)2					.
			(n + 3)2
		n → ∞

2.11. ! " 2.3

, ’ ,

.

% .

	1.	lim	n 3 5n2 +	4 9n8 + 1				.
			(n + n ) 7 − n + n2
		n → ∞
	3.	lim	n3 + 1 −	n − 1		.
			3 n3 + 1 − n − 1
		n → ∞
	5.	lim	3n − 1 − 3	125n3 + n					.
			5 n	− n
		n → ∞
	7.	lim	n + 2 −	n2 + 2			.
			4 4n4 + 1 −	3 n4 − 1
		n → ∞
	9.	lim	6n3 − n5 + 1		.
			4n6 + 3 − n
		n → ∞

2.	lim			n − 1 −	n2 + 1			.
		3		3n3 + 3 + 4 n5 + 1
	n → ∞
4.		3 n2 − 1 + 7n3
	lim					.
	n → ∞	4 n12 + n + 1 − n
6.	lim	n		5 n − 3 27n6 + n2					.
			(n + 4 n )		9 + n2
	n → ∞
8.	lim			n4 + 2 +	n − 2		.
		4 n4 + 2 + n − 2
	n → ∞
10.	lim			5n + 2 − 3 8n3 + 5						.
				4 n + 7 − n
	n → ∞

76

11.

lim

n 4 3n + 1 + 81n4 − n2 + 1

.

(n + 3 n ) 5 − n + n2

n → ∞

13.

lim

(n − 3 n3 − 5 )n

n.

n → ∞

15.

lim

4n + 1 − 3 27n3 + 4

.

4 n − 3 n5 + n

n → ∞

17.

lim

3 n3 − 7 +

3 n2 + 4

.

4 n5 + 5 +

n → ∞

n

19.

lim

4n2 − 4 n3

.

3 n6 + n3 + 1 − 5n

n → ∞

21.

lim

n 4 11n +

25n4 − 81

.

(n − 7 n )

n2

n → ∞

− n + 1

23.

lim

n7 + 5 −

n − 5

.

7 n7 + 5 + n − 5

n → ∞

25.

lim

n + 2 − 3 n3 + 2

.

7 n + 2 − 5 n5 + 2

n → ∞

27.

lim

n + 6 −

n2 − 5

.

3 n3 + 3 + 4 n3

n → ∞

+ 1

29.

lim

n2 − n3 + 1

.

3 n6 + 2 − n

n → ∞

31.

lim

n 6 n + 3 n10 + 1

.

n → ∞

(n + 4 n ) 3 n3 − 1

12.

n

lim

n(

n(n − 2) −

n2 − 3).

→ ∞

14.

3 n − 9n2

lim

.

n

3n − 4 9n8

→ ∞

+ 1

16.

lim

n 3 7n − 4 81n8 − 1

.

n

(n + 4 n )

n2 − 5

→ ∞

18.

lim

n6 + 4 +

n − 4

.

n

5 n6 + 6 − n − 6

→ ∞

20.

n

lim

n3 + 8(

n3 + 2 −

n3 −1).

→ ∞

22.

lim

3 n2 −

n2 + 5

.

n

5 n7 −

→ ∞

n + 1

24.

lim

3 n2 + 2 − 5n2

.

n

→ ∞ n − n4

− n + 1

26.

lim

n

71n − 3 64n6 + 9

.

n

(n − 3 n )

11 + n2

→ ∞

28.

nlim→ ∞ (

n (n + 5) − n).

30.

lim

n + 1 −

3 n3 + 1

.

n

4 n + 1 − 5 n5 + 1

→ ∞

2.12. () ),

! # * #

6 lim	Pk (n)	,
n→∞ Qm (n)
Pk (n) Qm (n) – " .

77

- " " :

an = a1 + d (n − 1),

Sn =

2a1 + d (n − 1)

n ,

Sn =

a1 + an

n ,

2

2

a1

an – n- " ;

Sn –

n " ; d – .

- Pk (n)

Qm (n)

,

’ ,

. 2.9.

%

lim

% 2 + 4 + ... + 2n

− n

&

n + 3

.

n → ∞

,

−

3 - "

" :

Sn =

a1 + an

n =

2 + 2n n = n + n2

2

2

n + n2 − n2 − 3n

% 2 + 4 + ... + 2n

&

% n + n2

&

lim

− n

= lim

− n =

lim

=

n + 3

n → ∞

n + 3

n

→ ∞

n + 3

n → ∞ ,

−

,

−

= lim

−2n

=

lim

−2

= −2 .4

1 + 3

n → ∞ n + 3

n → ∞

n

2.13. () ),

! #, *

c an + c bn

6

lim

1

2

,

a b

n → ∞ c an − c bn

– " , c1 c4 – ".

3

4

$

, ! -

. *, !

a > b , an .

% b &n

n %

b

n

&

c1 + c2

c1a

n

+ c2b

n

a

c1 + c2

a

n

lim

=

lim

,

−

=

lim

, a −

.

c3a

n

− c4b

n

n %

n

&

b

n

n → ∞

n → ∞

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a

c3 − c4 b

n

c3 − c4

%

&

a

,

−

&n

, a −

% b

c an

+ c bn

c

%

a > b ,

lim

= 0 ,

lim

1

2

=

1

.

− c bn

n

→ ∞

, a

−

n → ∞ c an

c

3

4

3

2n + 7n

%

lim

.

2n − 7n−1

n → ∞

78

7n

#(2

7

)n

+ 1

!

0 + 1

0 + 1

3 lim

= lim

= lim

= −7 .4

#(2 )n − 1

n → ∞ 7n

n → ∞ 0 − 17

n → ∞ 0 − 17

!

7

7

2.14.() ),

! #, *

6		lim	Pk (n)	,	Pk (n)
		n→∞ Qm (n)
Qm (n) – ". -					"
n! = n (n − 1)! Pk (n)	Qm (n) ,
’		. 2.9.

lim

n→∞

% lim

n!+ (n + 2)!

.

− 1)!+ (n

+ 2)!

n→∞ (n

3 - " : (n − 1)! =

n!

.

n

n!+ n! (n + 1) (n + 2)

=

lim

n2 + 3n + 3

= lim

1+ 3n + 3n2

=1.4

n!/ n + n! (n + 1) (n + 2)

1

+1

+ 3

+ 2

n→∞1/ n + n2 + 3n + 2

n→∞

n2

n3

n

2.15. ! " 2.4

, ’

,

.

% .

(2n + 1)!+ (

2n + 2)!

1.

% 1

+

2

+

3

+ ... +

n − 1&

2.

lim

.

lim

(2n +

3)!

.

n2

n2

n → ∞ , n2

n2 −

n → ∞

#1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1)

2n + 1

2

n+1

n+1

3.

lim

!

−

.

4.

lim

+ 3

.

n + 1

n → ∞

2

n → ∞

2n + 3n

5.

lim

1 + 2 + 3 + ... + n .

6.

lim

1+ 3 + 5 + ... + (2n −1)

.

n → ∞

9n

4

+ 1

n → ∞

1+ 2 + 3 + .. + n

7.

lim

#1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n − 1)

− n .

8.

lim

1 + 4 + 7 + ... + (3n − 2)

.

!

n + 3

4

n → ∞

n → ∞

5n

+ n + 1

79

9.

lim

(n + 4)!− (n + 2)!

.

n → ∞

(n + 3)!

11.

lim

2n − 5n+1

.

2n+1

+ 5n+

2

n → ∞

13.

lim

1−3+5−7+9−11+...+(4n−3) −(

4n−1)

.

n → ∞

n2 +1+ n2 + n+1

15.

lim

1 − 2 + 3 − 4 + ... + (2n − 1) − 2n

.

n → ∞

9n4 + 1

17.

#

n + 2

−

2

lim

!

.

n → ∞

1 + 2 + 3 + ...n

3

19.

lim

2 − 5 + 4 − 7 + ... + 2n − (2n + 3)

.

n → ∞

n + 3

21.

lim

1 + 2 + ... + n

.

n → ∞

n − n2 + 3

23.

%

3

+

5

+

9

+ ... +

1 + 2n

&

lim

n

.

n → ∞

4

16

64

4

,

−

25.

lim

#1 + 5 + 9 + 13 + ... + (4n − 3)

−

4n + 1 .

!

n + 1

n → ∞

2

27.

lim

1 − 2 + 3 − 4 + ... − 2n .

n → ∞

3 n3 + 2n + 2

29.

lim

3 + 6 + 9 + ... + 3n .

n → ∞

n2 + 4

31.

lim

%

2 + 4 + ... + 2n − n &.

n → ∞

,

n + 3

−

10.

lim

(3n − 1)!+ (3n + 1)!

.

n → ∞

(3n)!(n − 1)

1 + 1

+

1

+ ... +

1

32

3n

12.

lim

3

.

n → ∞ 1 +

1

+

1

+ ... +

1

5

52

5n

14.

lim

3n − 2n

.

3n−1

+

2n

n → ∞

16.

lim

3 n3 + 5 −

3n4 + 2

.

n → ∞ 1+ 3 + 5 + ... + (2n −1)

18.

%

5

+

13

+ ... +

3n

+ 2n &

lim

.

n

6

36

n → ∞ ,

6

−

20.

lim

(2n + 1)!+ (2n + 2)!

.

n → ∞

(2n + 3)!− (2n + 2)!

22.

lim

n2 +

n −1

.

2 +

7 +12 +

.. + (5n − 3)

n → ∞

24.

lim

2 + 4 + 6 + ... + 2n

.

1 +

3 + 5 + .. + (2n − 1)

n → ∞

26.

lim

2n + 7n

.

2n

−

7n−1

n → ∞

28.

lim

n!+ (n + 2)!

.

(n

− 1)!+ (n + 2)!

n → ∞

30.

%

7

+

29

+...+

2n

+5n

&

lim

.

n

100

n → ∞,10

10

−

2.16. ! + ) –

- " -

’	9 ± 9 -
, , :
(a±b)2=a2±2ab+b2;	a3±b3=(a±b)(a2 ab+b2);
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3;	(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b);
a2–b2=(a+b)(a–b);	(a–b)3=a3–b3–3ab(a–b).

80