Высшая математика. Том 2

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151

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2 # D(y) = (–?; 0) (0; +?).

									y		′					1				1 + x2
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, f(x) – # % (–?; 0) (0; +?).3
' 2:							f (x) =				2x				.
									x
2 D (y) = R.											2 + 1
							)													(				)
		(	x		2				2												− x		2
f ′(x) =	2							2			= 2 − 2x 2							=	2 1					2 .
							+ 1 − 4x										2
				(			)						(				)		(	x2	)
						x2 + 1								x2 + 1							+ 1

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2 D(y) = (0; 1) (1; +?). y′ = ln x − 1 . ln2 x

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				lnx
	x2 + 1

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152

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	x=x0, - , %
	f(x)<f(x0).
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	x0, - x=x0, - -
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	f(x)>f(x0).

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153

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		y = 1	− 3	x2
y=|x|
' 3: y = 3	x
2 ; y = 3	x % x=0,			y′ =	1	→ ∞

33 x2

x>0. 4 % , . , f(x)=0

x<0 f(x)<0, x>0 f(x)>0.3

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154

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155

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2 # D(y)=R.

				y	′		3	x	2			(	x − 1	2			5x − 2
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		5x − 2								2			)		x		33 x
	$		= 0 ,				x =					. ' % 2= 0.
		33 x					1			5

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*. 3.23. : y = (x − 1)3 x2

	1
f (−1) > 0 ,	f		< 0 , f (1) > 0 .
	5
, #, ymax = f (0) = 0 ,								2		2					4						3		4
						ymin	= f		=				− 1		3				= −			3		.3
																					5		25
								5		5					25
			x − 3			2
' 2:	y =					.
			x + 1
2 # D(y) = (–?; –1) (–1; +?).
										y		′		x − 3						x + 1 − x + 3						x − 3
&													= 2 x + 1							(x + 1)2					= 8 (x + 1)3 .

156

	x − 3			2
*. 3.24. :	y =
	x + 1

1 x =3. , x= –1 # -

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y =

− 8x − 15 [–2; –0,5].

x2

1 + x3

2 & . y

′

8

= − x3 − 8 = −8

x3 , x = −1

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.

f (−2) = 2 ,

f (−1) = −3 ,

f (−0,5) = 5 .

,

ymax = f (−0,5) = 5 ,

ymin = f (−1) = −3 .3

[1; e].

' 2: & # ( ( y=x–2·ln x

2

x − 2

, x1 = 2 . f (1) = 1,

f (2) = 2 − 2ln 2 ≈ 0,6 ,

2 y′ = 1 −

=

x

x

(1) = 1,

ymin = f (2) = 0,6 .3

f (e) = e − 2 ≈ 0,7 . ,

ymax = f

157

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1. y = x2 +								16		− 16,																	1, 4										]		.															2. y = 4 − x −											4							,								1, 4								]			.
									x																		[																																							x2												[
3. y = 3					(	x			− 2				)		2			(		8 − x											)				− 1,									[						]				4. y =			2(x2 + 3)																							[														]
		2																																											0, 6						.																								,										−3, 3 .
																																																								x2 − 2x											+ 5
																	[											]																																																	(											)							[										]
5. y = 2 x − x,																																																						6. y =1+ 3								(	x									)		2					x− 7
																			0, 4											.																														2							−1																								,						−1, 5 .
7. y = x − 4 x + 5,																											1, 9									]		.																8. y =		10x							,					[				0, 3 .
																								[																															1 + x2																									]
9. y = 3 2					(	x + 1							2				(		5 − x											)			− 2,											[	−3, 3 .									10.	y = 2x2 +											108								− 59,																	[		2, 4								]		.
									)																																										]																	x
																			4																			[−1, 2].																																																[−1, 6].
11.	y = 3 − x −																													,																								12.	y = 3 2x2 (x − 3),
												(x + 2)2
13.	y =	2(− x2 + 7x − 7)																																					[						]									14.	y = x − 4												x + 2 +																									[		−1, 7										]
																																,							1, 4								.																																					8,																					.
					x2 − 2x + 2
																																																]											4x														[														]
15.	y =	3 2				(			x − 2							)		2			(			5 − x										)			,					1, 5							.					16.	y =												,									−4, 2													.
																																																										4 + x2
																																									[
17.	y = −				x		2		+		8			+ 8,														[			−4, − 1 .																							18.	y =			3 2x2						(			x − 6											)		,						[		−2, 4											]			.
					2							x																																]
																																																											2(x2 + 3)
19.	y =	−2x(2x + 3)																							,						1, 4									]	.													20.	y = −																										,						[			−5, 1 .
		x2 + 4x + 5																												[																													x2 + 2x + 5																																									]
21.	y =	3 2				(			x − 1								2		(				x − 4										)			,				[		0, 4						]	.					22.	y = x2 − 2x +																		16											−13,												[		2, 5 .
													)																																																												x −1																																]
																																			[								]																	(										)																)								[											]
																																																									3 2																	(
23.	y = 2 x − 1 − x +																										2,										1, 5							.										24.	y =						x		+ 2										2				1			− x								,								−3, 4 .
25.	y = −				x2				+ 2x +																		8																	[							]			26.	y =		8x +							4																								1
																																																																		2
					2																			x			−			2					+ 5,											−2, 1 .																	x						− 15,																			2				,			2					.
																																															[					]																			16																							[
27.	y =	3 2				(			x + 2							)		2			(				x − 4										)			+ 3,										−4, 2					.	28.	y = x2 + 4x+																												− 9,												−1, 2 .
																																																																								x+ 2																																]
		4																																										1																																																		[
29.	y =						− 8x − 15,																					−2,													−					.								30.	y =		3 2			(	x +1										2			(			x − 2									)		,								−2, 5 .
			2
		x																																																																		)																																					]
						10x + 10																																						2
31.	y = −																									,						[−1, 2].
					x2 + 2x +																	2

158

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