Высшая математика. Том 2

- :

(n2 + 5)(n4 + 2) − n6 − 3n3 + 5

lim

.

n

n→∞

3 - "

a2–b2=(a+b)(a–b), -

(a+b). $ :

lim

(n2 + 5)(n4 + 2) − n6 − 3n3 + 5

∞

=

=

n

n→∞

∞

%

2

4

+ 2) −

6

3

& %

2

4

+ 2)

6

3

+ 5

&

(n

+ 5)(n

n

− 3n

+ 5

(n

+

5)(n

+ n

− 3n

= lim

,

− ,

−

=

%

+ 2)

&

n→∞

2

+

4

+

6

3

+ 5

n

(n

5)(n

n − 3n

,

−

= lim

n6

+ 2n2 + 5n4

+10 − n6 + 3n3 − 5

=

%

+ 2)

&

n→∞

n

2

+

4

+

6

3

+ 5

(n

5)(n

n

− 3n

,

5n4 + 3n3 + 2n2 + 5

−

lim

=

− 3n3 + 5)

n→∞ n ( n6 + 2n2 + 5n4

+10 + n6

n

4 %

3

+ 2

+ 5

&

5 +

n2

= lim

,

n

n4

−

=

%

&

n→∞

n

4

1

+ 2

+ 5

+ 10

+

1 − 3

+ 5

n4

n2

n6

,

n3

n6

−

5 +

3

+ 2

n2

+ 5

5 + 0 + 0 + 0

5

lim

n

n4

=

=

= 2,5.4

&

1+ 0 + 0 + 0 + 1−

0 + 0

2

n→∞ %

1+ 2

4 + 5

+10

6 + 1− 3

3 + 5

2

6

,

n

n

n

n

n

−

2.17. ! " 2.5

, ’

,

.

% .

n2 − 3).

1.

lim

n(

n2 + 1 +

n2 − 1).

2.

lim n( n(n − 2) −

n → ∞

(n −

− 5 )n

n

→ ∞

3.

lim

3

n

3

n.

4.

lim

#

2

2

4

− 9

!

(n

+1)(n − 4) − n

n → ∞

n

→ ∞

81

5.

lim

n5 − 8 − n n(n2 + 5)

.

n

n → ∞

7.

lim (n + 3 4 − n3 ).

n → ∞

(n + 2)(n +1) −

(n −1)(n + 3) .

9.

#

lim !

n

→ ∞

(3 5 + 8n3 − 2n).

11.

lim

n

n → ∞

13.

lim

#

2

− 3 (n −

3)

2

.

! 3 (n + 2)

n → ∞

15.

lim

(

n2 + 3n − 2 −

n2 − 3).

n → ∞

n(n5 + 9) − (n4 − 1)(n2 + 5)

17.

lim

.

n

n → ∞

19.

lim

n3 + 8 (

n3 + 2 −

n3 − 1).

n → ∞

21.

#

2

2

+ 2) −

2

2

− 2) .

lim !

(n

+1)(n

(n

−1)(n

n → ∞

(n4 + 1)(n2 − 1) − n6 − 1

23.

lim

.

n

n → ∞

25.

lim

n

3 %

2

(n

6

+ 4)

− 3 (n

8

− 1)

&

3 n

.

n → ∞

,

−

27.

lim

3 n (3 n2 − 3 n(n − 1) ).

n → ∞

n(

n4 + 3 − n4 − 2 ).

29.

lim

n → ∞

(n2 + 5)(n4 + 2)

31.

− n6 − 3n3 + 5

lim

.

n

n → ∞

6.

lim

(

n2 − 3n + 2 − n).

n

→ ∞

8.

lim

#

n(n + 2)

−

n2 − 2n + 3

.

n → ∞

!

n(n4 − 1) −

10.

n

lim

n2 %

n5 − 8 &.

→ ∞

n2 (,

3 5 + n3 − 3 3 + n3 ).

−

12.

n

lim

→ ∞

14.

lim

(n +1)3 −

n(n −1)(n − 3)

.

n

→ ∞

n

16.

n

lim

n

( n + 2 −

n − 3 ).

→ ∞

18. nlim→ ∞ ( n

(n + 5) − n).

20.

lim

(n3 + 1)(n2 + 3) − n(n4 + 2)

.

n

2

n

→ ∞

22.

lim

(n5 +1)(n2 −1) − n n(n4 +1)

.

n

n

→ ∞

24.

n

lim

#n −

n (n − 1)

.

→ ∞

!

26.

n

lim

#n

n −

n

(n + 1)(n + 2)

.

→ ∞

!

+ 2 (

n − 4 ).

28.

n

lim

n

n + 3 −

→ ∞

n(n+1)(n+ 2)(

n3 − 2).

30.

lim

n3 −3 −

n

→ ∞

2.18. !	0	0

- " -

( " ' ), !,

	0	0	.

82

% " lim	3 x − 6	+ 2	.
		8
x→−2 x3 +

3 - " a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2):

																%	3		( x − 6)		2		&
3		x − 6 + 2					0				(3 x − 6 + 2)											− 23 x − 6 + 4
																,							−
lim						=			=	lim														=
		3					0				(					%							&
x→−2			x	3	+ 8					x→−2		3	x	3	3			( x − 6)		2		− 23 x − 6 + 4
															+ 2	) 3
																,							−

			= lim											x − 6 + 23												=
						(							%		2										&
					x→−2		3	x	3			3		( x − 6)		− 23 x − 6							+ 4
										+ 2			) 3
													,												−
		= lim												3 ( x + 2)3																=
							2)(x							& %														&
		x→−2 %			3 ( x +					2	− 2x +						− 6)		2	− 2			3 x − 6 +				4
														4) 3 ( x
			,											− ,														−
= lim					3	( x + 2)2											=						0				=		0				= 0 .4
					%						2					&		3	16			(	3	64 + 8)					24		3	2
x→−2 3		x2 − 2x	+			( x − 6)						− 23 x − 6 + 4
					4 3
					,											−

2.19. ! " 2.6

, ’ ,

.

% " .

1.	lim				1 + 2x − 3		.
					x − 2
	x → 4
3.	lim				x − 1	.
	x → 1			3 x2 − 1
5.	lim				3 x − 6 + 2				.
					x3 + 8
	x → −2
7.	lim				9 + 2x − 5			.
	x → 8				3 x − 2
9.	lim			3	8 + 3x + x		2 − 2			.
					x + x2
	x → 0

2.

lim

1 − x − 3

.

x → −8

2 + 3 x

4.

lim

x + 13 − 2

x + 1

.

x2 − 9

x → 3

6.

lim

4 x − 2

.

x − 4

x → 16

8.

lim

1 − 2x + x2 − (1 + x)

.

x

x

→ 0

10.

lim

3 27 + x −

3 27 − x

.

x + 23 x4

x →

0

83

11.

lim

3 x − 1

.

1 + x −

2x

x → 1

13.

lim

3 4x − 2

.

2 + x −

x →

2

2x

15.

lim

3 9x − 3

.

3 + x −

x →

3

2x

17.

lim

3 16x − 4

.

4 + x −

x →

4

2x

19.

lim

3 x 4 − 1 2

.

1 2 + x −

2x

x →

1 2

21.

lim

3 x 16 − 1 4

.

1 4 + x −

2x

x →

1 4

23.

lim

3

27 + x −

3 27 − x

.

3 x2 + 3 x

x →

0

25.

lim

1 − 2x + 3x2 − (1 + x)

.

3 x

x →

0

27.

lim

4 x − 2

.

3 ( x − 4)2

x →

16

29.

lim

x − 2

.

x →

4

3 x2 − 16

31.

lim

x + 13 − 2

x + 1

.

3 x2 − 9

x →

3

12.

lim

1 + x −

1 − x

.

x → 0

3 1 + x − 3 1 − x

14.

lim

x − 1

.

x → 1 x2 − 1

16.

lim

3 x − 6 + 2

.

x + 2

x → -2

18.

lim

9 + 2x − 5

.

x → 8

3 x2 − 4

20.

lim

3 x 9 − 1 3

.

1 3 + x −

2x

x → 1 3

22.

lim

1 + x −

1 − x

.

7 x

x → 0

24.

lim

3

8 + 3x − x2 − 2

.

3 x2 + x3

x → 0

26.

lim

9 + 2x − 5

.

x → 8

3 x − 2

28.

lim

4x

.

x → 0 tg(π (2 + x))

30.

lim

10 − x − 6

1 − x .

x → −8

2 + 3 x

2.20. +$ ! , #

) ) «#»

2 lim					Pk ( x)		,
	( x) = a xk + a			x→a Qm ( x)
P		k −1	xk −1 + + a x + a			–				k ( -
k	k			1	0
"				xk )	Q ( x)			= b	xm + b	xm−1 + + b x + b –
					m			m	m−1	1	0
m ( "										xm ).

. :

84

1) + !

Qm (x = a)≠ 0 , "

Pk (x)

Qm (x)

Pk (x)

Pk (a)

x = a lim

=

.

x→a Qm (x)

Qm (a)

2)

+ !

Qm (x = a)= 0

Pk (x = a)≠ 0 ,

lim

Pk (x)

= ∞ .

x→a Qm (x)

3) + ! Qm (x = a)= 0

Pk (x = a)= 0 ,

,

Pk

(x)

=

(x − a)Pk −1

(x)

Qm−1 (a)≠ 0 Pk −1 (a)≠ 0 .

,

Q

(x)

(x − a)Q

(x)

m

m−1

x → a

%

"

, a ,

-

x − a . %

Pk

(x)

(x − a)Pk −1 (x)

Pk −1

(x)

=

=

.

Q

(x)

(x − a)Q

(x)

Q

(x)

m

m−1

m−1

. + ! a Pk (x)

Q (x),

P

(x)= (x − a)n P

(x),

Q

(x)= (x − a)l Q

(x),

m

k

k −n

m

m−l

P (x)

(x − a)n P (x)

Qm−l (a)≠ 0

Pk −n (a)≠ 0 . - n

Qm (x) =

(x − a)l Q

(x),

k

k −n

m−l

l ! .

% "	lim	x3	− 4x2	− 3x + 18	.
				+ 3x + 9
	x→3 x3 − 5x2

3 ) .

« ».

x3

−4x2

−3x +18

x − 3

x3

−5x2

+3x +9

x − 3

x3

−3x2

x2 − x − 6

x3

−3x2

x2 − 2x − 3

− x2

−3x

−2x2

+3x

− x2

+3x

−2x2

+6x

−6x +18

−3x +9

−6x +18

−3x

+9

x3

− 4x2

− 3x + 18

0

(x − 3)(x2

− x − 6)

x2

− x − 6

=

0

lim

=

= lim

= lim

.

(x − 3)(x2

− 2x − 3)

x→3 x3 − 5x2

+ 3x + 9

0

x→3

x→3 x2

− 2x − 3

0

85

# 3 . %,

! ( x − 3) « ».

x2

−x

−6

x − 3

x2

−2x −3

x − 3

x2

−3x

x + 2

x2

−3x

x + 1

2x

−6

x

−3

2x

−6

x

−3

lim

( x − 3)( x +

2)

= lim

( x + 2)

= lim

3 + 2

=

5 .4

x→3

( x − 3)( x + 1)

x→3

( x + 1)

x→3

3 + 1

4

2.21. ! " 2.7

, ’

.

% " .

1.

lim

(x3 − 2x − 1)( x + 1)

x4 + 4x2 −

5

.

x → −1

3.

lim

(x2 + 3x + 2)2

.

+ 2x2 − x −

2

x → −1 x3

5.

lim

(x2 + 2x − 3)2

.

x → −3 x3 + 4x2 + 3x

7.

lim

(1 + x)3 − (1 + 3x)

.

x → 0

x3

x + x5

9.

lim

− 3x − 2

.

x → −1 x2 − x − 2

11.

lim

x3 − 3x + 2

.

− x2 − x + 1

x →

1 x3

13.

lim

x3 + 4x2 + 5x + 2

.

x3 − 3x −

2

x → −1

15.

lim

x3

+ 5x2 + 8x + 4

.

x3 + 3x2 −

4

x →-2

17.

lim

x3

− 6x2 + 12x − 8

.

x3 − 3x2 +

4

x →2

19.

lim

x3 − 3x − 2

.

(x2 − x − 2)2

x →− 1

,

2.	lim	x3	− 3x − 2	.
			x + x2
	x → −1

4.

lim

(2x2 − x − 1)2

.

2

x → 1 x3 + 2x2 − x −

6.

lim

(x3 − 2x − 1)2

.

x4 + 2x + 1

x → −1

8.

lim

x

2 − 2x + 1

.

2x2 − x − 1

x → 1

10.

lim

x3 + 5x

2 + 7x + 3

.

+ 5x +

2

x → −1 x3 + 4x2

12.

lim

x3 + x2 − 5x + 3

.

x3 − x2

− x + 1

x →

1

14.

lim

x4 − 1

.

2x4 − x2

− 1

x →

1

16.

lim

x3 − 5x2 + 8x − 4

.

x3 − 3x2 + 4

x →2

18.

lim

x3 + 5x2 + 8x + 4

.

+ 16x + 12

x →

-2 x3 + 7x2

20.

lim

x3 − 3x − 2

.

x − 2

x →2

86

21.	lim		x3 − 3x − 2				.
					+	1
	x →− 1 x2 + 2x
23.	lim			x4 − 1			.
		2x		4 − x2	−	1
	x → 1
25.	lim			2x2 − x − 1				.
					− x − 2
	x → 1 x3 + 2x2
27.	lim		x3 − 2x − 1				.
				4 + 2x	+	1
	x →− 1 x
29.	lim			x2 − 1		.
		2x2 − x − 1
	x → 1
31.	lim	x3		− 4x2	− 3x + 18				.
					+ 3x +			9
	x → 3 x3 − 5x2

22.	lim				x2 − 2x + 1			.
						− x2 − x + 1
	x → 1 x3
24.	lim					x2 + 3x + 2				.
	x →− 1 x3 + 2x2 − x − 2
26.	lim				x2 + 2x − 3		.
						+ 4x2 + 3x
	x →-3 x3
28.	lim			(1 + x)3 − (1 + 3x)						.
						x2 + x5
	x →	0
30.	lim			x3 + 7x2 + 15x + 9							.
						+ 8x2 + 21x + 18
	x →-3 x3

2.22. & ' )

6 lim	u ( x)	=	0	, u ( x) g ( x) – -
			0
x→a g ( x)

" x = a .

- , ! , -

. - -

:

lim

n 1 + u − 1

=

1

,

u

n

x→a

lim sin u = 1 ( ),

x→a

u

)1u

(

+ u

= e

( ),

lim 1

x→a

ln (1 + u)

lim

= 1,

x→a

u

lim

bu − 1

= ln b,

b > 0 ,

lim

eα u − eβ u

= α − β .

x→a u

x→a

u

; ! " u ( x) → 0 x → a .

% " lim

tg (π (1 + x 2))

.

x

→0

ln(x + 1)

87

3 - "

tg(x + y) = (tg x + tg )/(1–tg x·tg ), -

, ! tgπ =0, tg (π (1 + x

2

)) = tg (π +

π x

2

) =

tgπ + tgπ x 2

= tgπ x

2

.

1 − tgπ tgπ x

2

lim

tg (π (1 + x 2))

=

0

=

lim

tg π x

2

= lim

sinπ x

2

π x

2

ln(x + 1)

0

π x

) π x

x→0

x→0 ln ( x + 1)

x→0

cos

2

ln

(

2

x + 1

, "

lim

sin f ( x)

= 1

lim

ln (1 + f ( x))

= 1 -

x→a f ( x)

x→a

f ( x)

:

sinπ x

π

lim

2

lim

1

lim

x

=

π

1

1

1

=

π

.4

2

π x

π x

(

)

2

ln

(

x +

)

2

x→0

2

x

→0 cos

2

x→0 ln

x + 1

lim

1

x

x→0

2.23. '

2 "

. 7 sin x x=0,

x

( . 2.11).

2. 2.11. " " sin x

						x
	), " '0.
	lim sin x =			x	= 1.
				sin x
	x→0	x
	1 " .
	1 "	lim	sin f		( x)	= 1, ! f ( x) -
		x→a		f ( x)

0 x → a .

	# , -
	0	0	. - , ! " :

88

lim

sin x = 0 ,

lim sin x = 0 .

x→∞

x

x→π

x

) 1:

3 lim

sin 5x

=

#

0

= lim 5

sin 5x

= 5 1 = 5 .4

x

!

0

5x

x→0

x→0

) 2: 3 lim

tg x 2

=

#

0

= lim

sin2 x 2

= lim sin x 2 sin x 2 = 1

.4

!

x→0

x

2

x→0 x

2

cos

2

x

x→0 4 x

x

1

4

0

2

2

2

) 3:

3 lim

1− cos x

=

#

0

= lim

2sin2 x

2

= lim

2 sin x

2

sin x

2

= 0 .4

!

x

x

2 x

x→0

0

x→0

x→0

2

) 4:

3 lim

x2 − 4

= lim

( x − 2)( x + 2)

= 4 .4

sin ( x − 2)

x→2 sin ( x − 2)

x→2

) 5: 3 lim 1 − 1 − x = lim

(1 −

1 − x )(1 + 1 − x )

=

x→0

sin 4x

x→0

sin 4x (1 +

1 − x )

= lim

x

= lim

4x

=

1

=

1 .4

(1 +

1 − x )

1 − x )

4(1 + 1)

x→0 sin 4x

x→0 sin 4x 4(1 +

8

2.24. ! " 2.8

, ’

.

% " .

1.	lim	ln (1 + sin x)		.
	x → 0	sin 4x
3.	lim	3x2 − 5x	.
		sin 3x
	x → 0
5.	lim	4x			.
	x → 0 tg(π (2 + x))

,

2.lim 1 − cos10x .

x→ 0 ex2 − 1

	4.	lim		1 − cos 2x	.
			0 cos7x − cos3x
		x →
	6.	lim		2x		.
			0 tg[2π (x + 1 2)]
		x →

89

7.lim 1 − cos3 x .

→0 4x2x

9.

lim

2x − 1

.

2x)

x → 0 ln(1 +

11.

lim

ln(1 − 7x)

.

x →

0 sin(π (x + 7))

13.

lim

9ln(1 − 2x) .

x →

0

4arctg3x

15.

lim

sin 7x

.

x →

0 x2 + π x

17.

lim

2sin[π (x + 1)]

.

x →

0

ln(1 + 2x)

19.

lim

1 + x − 1

.

x →

0 sin[π (x + 2)]

21.

lim

1 −

cos x .

x →

0

xsin x

23.

lim

e4x − 1

.

x →

0 sin(π (x 2 + 1))

25.

lim

sin2 x − tg2 x

.

x4

x →

0

27.

lim

tgx − sin x

.

x →

0 x(1 − cos 2x)

29.

lim

tg(π (1 + x 2))

.

x →

0

ln(x + 1)

31.

lim

2xsin x

.

x →

0

1 − cos x

8.

lim

arcsin 3x

.

2 + x − 2

x → 0

10.

lim

arctg2x

.

10))

x →

0 sin(2π (x +

12.

lim

cos(x + 5π 2)tgx

.

x →

0

arcsin 2x2

14.

lim

1 −

3x + 1

.

x →

0 cos[π (x + 1) 2]

16.

lim

4 + x − 2

.

x →

0

3arctgx

18.

lim

cos 2x − cos x .

x →

0

1 − cos x

20.

lim

sin[5(x + π )]

.

x →

0

e3x − 1

22.

lim

arcsin 2x ln 2.

x →

0

2−3x − 1

24.

lim

1 − cos x

.

x →

0

(e3x − 1)2

26.

lim

arcsin 2x

.

x →

0 ln(e − x) − 1

28.

lim

ln(x2 + 1)

.

x2 + 1

x →

0

1 −

30.

lim

2(eπ x − 1)

.

x →

0

3(3 1 + x − 1)

2.25.-

1∞ , -

:

%	+	1	&x		(1 + x)	1	x = e .
lim 1		x		= lim
x→∞ ,			−	x→0	(			)1u
1 "							+ u		= e , ! u → 0
					lim 1
x → a . - , !					x→a
			" -
				90