Высшая математика. Том 2

	∆y	3		∆x	1
lim		= lim			= lim				= +∞ . , % -
	∆x			∆x			2
∆x→0		∆x→0			∆x→0 ∆x			3

x= 0. % # π/2, #

% Oy.3

3.10. 4 ' # & ! )# *

) = f(u), u= u(x). % , x:=f(u(x)). % % # -

.

# =f(u(x)) % # # -

u= u(x) # , u, -

# y= f(u).

« » , #-

. $ .

4 ' 2. 0- u=u(x) % x0

′	′	(x0 ) % u0	= u(x0), y= f(u) % -
ux	= u

u0 y'u= f '(u0), =f(u(x)) x0 %

, y'x= f '(u0) · u'(x0), u #

u= u(x).

, , #

u x.

, -# =f(u(x)), #

«(» f, , ,

«(» .

f ′(u(x))= f ′(u) u′ (x)

u x

0- y=f(x) y=f(u), u=u(v), v=v(x), y'x %

. & % y'x= y'u · u'x. &

u'x %	′	′	′
	ux	= uv	vx , # y'x = y'x· u'v· v'x = f 'u (u) · u'v
(v) · v'x (x).
		!
&

' 1: y = − 1 e− x2 (x4 + 2x2 + 2).
		2
2 & (uv)′ = u′v + uv′
	′	′		′
f		(u(x))= fu (u)		ux (x) :

121

y′ = −

1

(e− x2 (−2x) (x4 + 2x2 + 2)+ e− x2 (4x3 + 4x))=

2

5

5

= e− x2 (x5 + 2x3 + 2x − 2x3 − 2x)=

x

. $ : y′ =

x

.3

2

2

ln x

ex

ex

' 2: y = ln

.

sin (1 x)

2 & % ln′ x =

1

,

sin′ x = cos x ,

f ′(u(x))= fu′(u) u′x (x),

x

sin (1

)− ln x cos(1 ) (−1

2 )

′

′

′

sin (1

) 1

u

x

x

x

x

x

u v − uv

=

%

y′ =

=

v

2

ln x

sin

2

(1

)

v

(

2 )

x

) (

2 )

sin (1

)

1

sin (

1

)

sin (1

x

) ln x cos(1

x

)

1

1

cos(1

1

x

=

x

x

x

+

x

=

x

x

(1

)

sin2 (

1

)

+

(1

)

.

ln x

sin2

x

ln x

ln x

sin

ctg(1

)

x

x

$ : y′ = 1

1

+

.3

x

x

x

ln x

' 3: y = tg

cos(1 3) +

sin2 31x

.

31cos62x

2 & % # 2sin² α = 1 – cos 2α:

sin2 31x

1

1 − cos62x

1

1

− 1 .

31cos62x

62

cos62x

62

cos62x

&, - #- , -

– % , . ,:

1

1

'

62

sin 62x

tg62x

y′ = 0 +

−

1 =

=

.

62

62

cos

2

62x

cos62x

cos62x

$ : y′ =

tg62x

.3

cos62x

' 4: y = arctg

tg(x 2)+ 1

.

2

1

1

2 & % arctg′x =

tg′x =

.

1 + x2

cos2 x

$ , - 2 cos²α/2 = 1+ cosα %;

y′ = 4 12 1cos2 (x2) 12 =

2

4 + (tg(x2)+ 1)

122

1cos2 (x

)

=

2

=

4 cos2 (x

2 )+ sin 2 (x

2 )+ 2 sin (x

2 ) cos (x

2 )+ cos2 (x

2 )

(x

2 )

cos2

=

1

1

1

1 + 4cos2 (x

)+ sin x

=

=

.

2

1 + 2 + 2cos x + sin x

3 + 2cos x + sin x

1

$ : y′ =

.3

3 + 2cos x + sin x

3.11. " # !$ " % 3.3

/ ’ , # (

.

			&
1.	y = x − ln (2 + ex + 2 e2x + ex + 1).
3.	y =		1	arctg	ex − 3	.
			2		2
5.	y = 2 ex + 1 + ln					ex + 1 − 1	.
						ex + 1 + 1
7.	y =	1		ln (e2x + 1)− 2arctg ex.
		2
9.	y =		2	( 2x − 1 − arctg 2x − 1)
								.

ln 2

11.y = eα x (α sin β x − β cos β x).

α2 + β 2

		ax 1			acos 2bx + 2bsin 2bx
13.	y = e			+	2(a2 + 4b2 )	.
			2a
15.	y= x−3ln (1+ex 6) 1+ex 3 −3arctgex 6.
17.	y = ln (ex +				e2x − 1)+ arcsin e− x.

2. y = e2x (2 − sin 2x − cos 2x)8.

4.	y =		1		1			+ 2x
						ln				.
								− 2x
			ln 4 1
6.	y =	2			(arctg ex )3 .
			3
8.	y = ln (ex + 1)+								18e2x + 27ex + 11		.
										6(ex + 1)3

10. y = 2(x− 2) 1+ ex − 2ln 1+ ex −1. 1+ ex +1

12.y = eα x (β sin β x − α cos β x).

α2 + β 2

14.	y = x +			1		− ln (1		+ ex ).
		1		+ e	x
16.	y = x +			8			.
		1		+ ex 4
18.	y= x−e−x arcsinex −ln(1+ 1−e2x ).

123

19. y =

21. y =

x − ln (1 + ex )− 2e− x 2 arctg ex

1		a
	arctg emx		.
m ab
		b

2 − (arctg ex 2 )2 .	20. y =		ex3	.
			+ x3
	1
22. y = 3e	3 x (3 x2 − 23 x + 2).

	23.	y = ln	1	+ ex + e2x − ex − 1	.
			1 + ex + e2x − ex + 1

			ex					2		2
25.	y =					(x			− 1)cos x + (x − 1)		sin x	.
			2
27.		3			x (3 x5				−53 x4 +20x−603 x2		+1203 x−120).
	y=3e
29.	y = arcsin e− x − 1 − e2x .
31.	y =			ex2			.
		1		+ x2

								1
	24.	y = esin x x −							.
								cos x
	26.	y = arctg (ex − e− x ).
	28.	y = −			e3x		.
				3sin3 x
	30.	y = −		1	e− x2	(x4 + 2x2 + 2).
			2

3.12. " # !$ " % 3.4

/ ’ , # (

.

&

1.	y = x ln ( x + x + a )− x + a.
3.	y = 2 x − 4ln (2 + x ).
5.	y = ln ( x + x + 1).
7.	y = ln2 (x + cos x).
9.	y = ln	x2			.
	1 − x2
11. y = ln 4			1	+ 2x		.
	1			− 2x

13.y = ln sin 2x + 4 . x + 1

15. y = log4 log2tg x.

17.y = ln cos 2x + 3. x + 1

2.	y = ln (x + a2 + x2 ).
4.	y = ln				x2					.
				1 − ax4
6.	y = ln			a2	+ x2		.
					− x2
				a2
8.	y = ln3 (1 + cos x).
10.		y = lntg π +							x		.
					4					2
12.		y = x +			1	ln		x −				2	+ aπ 2 .
					2							2
										x +

14. y = log16 log5tg x.

16. y = x(cosln x + sin ln x)2.

18. y = lg ln (ctg x).

124

19.	y = loga			1		.			20.	y =	1		ln( 2 tg x +		1+ 2tg2 x).
		1		− x4						2
21.	y = ln arcsin 1 − e2x .								22.	y = ln arccos 1 − e4x .
23.	y = ln (bx +			a2 + b2 x2 ).					24.	y = ln			x2 + 1 + x		2	.
													x2 + 1 − x		2
25.	y = ln arccos				1		.		26.	y = ln (ex + 1 + e2x ).
					x
27.	y = ln	5 + tg (x 2)							28.	y = ln			ln x
								.						.
		5 − tg (x 2)										sin (1 x)
29.	y = ln lnsin (1 + 1 x).								30.	y = ln ln3 ln2 x.
31.	y = ln ln2 ln3 x.

3.13. " # !$ " % 3.5

/ ’ , # (

.

& x0=2.
1.	y = sin				3 +				1 sin						2 3x														2.	y = cosln 2 −						1 cos2 3x
																						.																														.
									3 cos6x																											3 sin 6x
3.	y = tg lg					1	+	1				sin2 4x											.						4.	y = ctg 3 5 −					1				cos2 4x												.
					3			4 cos8x																										8								sin8x
5.	y =	cossin 5						sin2 2x																					6.	y =		sin cos3		cos2 2x
																					.																													.
					2cos 4x
																																4sin 4x
7.	y =	cosln 7 sin2 7x																		.									8.	y = cos(ctg 2)−													1						cos2 8x						.
					7cos14x																																					16 sin16x
9.	y = ctg(cos 2)+													1			sin2 6x									.			10.		y = 3 ctg 2 −							1							cos2 10x								.
														6 cos12x																								20 sin 20x
11. y =			1								1									1 sin2							10x		12.			1										1 cos2 12x
					cos tg										+													.			y = ln sin				−																			.
			3								2							10 cos 20x
																																2									24 sin 24x

13.	y = 8sin (ctg3)+					1		sin2 5x		.	14.	y =	cos(ctg3) cos2 14x						.
						5 cos10x								28sin 28x
		cos tg	1		sin2 15x								sin tg		1	cos2	16x
			3
15.	y =								.		16.	y =		7				.
														32sin 32x
		15cos30x

125

		ctg sin	1		sin2 17x
			3
17.	y =					.

17cos34x

19.y = tg (ln 2) sin2 19x.

19cos38x

21.

y = tg 4 +

sin2

21x

.

21cos 42x

1

sin2 23x

23.

y = ln cos

+

.

3

23cos 46x

25.

y = sin ln 2 +

sin

2 25x

.

25cos50x

27.

y = 7 tg(cos 2) +

sin2 27x

.

27cos54x

29.

y = cos2 sin 3 +

sin2 29x

.

29cos58x

31.

y = tg cos(1 3) +

sin2 31x

.

31cos 62x

18.	y =	5 ctg 2	cos2 18x
																			.
		36sin 36x
																		cos2 20x
20.	y = ctg(cos5)−										1															.
									40									sin 40x
22.	y = cos(ln13)−									1								cos2 22x							.
									44									sin 44x
24.				1											1 cos2 24x
	y = ctg sin								−																		.
				13										48 sin 48x
26.	y = 3 cos		2 −					1						cos2 26x										.
							52								sin 52x
28.	y = sin 3 tg 2 −								cos2 28x
																						.
								56sin 56x
30.	y = sin3 cos 2 −								cos2 30x														.
									60sin 60x

3.14. " # !$ " % 3.6

/ ’ , # (

.

&

1.

y = arctg

tg x − ctg x

, x0=2.

2

2.

y = arcsin

x − 2

, x0=2

.

2x − 1

5x

9

2x − 1

3.

y =

2 + x − x2

+

arcsin

, x0=1/4.

4

8

3

4.

y = arctg

1 + x2 − 1

,

x0=2.

x

5.

y = arccos

x2 − 4

x0=2.

,

x4 + 16

6.y = 2 arctg 3x − 1, 0=2. 3 6x

7.y = 1 ln x − 1 − 1 arctg x, x0=2. 4 x + 1 2 x

126

8.

y =

1

(x − 4) 8x − x2 − 7 − 9arccos

x − 1

, x0=2.

2

6

9.

y =

(1 + x)arctg

x

+

1

, x0=2.

3x

x2

x

10.

y =

x3

arccos x −

2 + x2

1 − x2 , x0=1/4.

3

1 + x

9

11.

y =

1

+

arctg x, x0=2

2

x

2x

12.

y =

3 + x

x(2 − x) + 3arccos

x

, x0=1/4.

2

2

13.

y =

4

+ x4

x2

4

x0=2.

arctg

+

,

x3

x

2

14.y = arcsin x + arctg x, x0=2. x + 1

15.y = 1 1 − 1 − arccos x , x0=1/4. 2 x2 2x2

16.

y = 6arcsin

x

−

6 + x

x(4 − x), x0=2.

2

x − 3

2

x

17.

y =

6 x − x2 − 8 + arcsin

− 1, x0=3.

2

2

18.

y =

(1 + x)arctg

x −

x

, x0=2.

x

19.

y =

2 1 − x arcsin

x

+

2

, x0=1/4.

x

x

20.

y =

2x − 5

5x − 4 − x2

+

9

arcsin

x − 1

, x0=2.

3

4

4

21.

y = arctg x +

5

x2 + 1

x0=2.

ln

,

6

x2 + 4

22.

y = arcsin

x − 2

, x0=2.

(

x − 1

2

)

23.

y =

1 − x2

− xarcsin

1 − x2 , x0=1/4.

24.

y =

x +

1

arctg

x +

8

arctg

x

, x0=2.

3

3

2

25.

y = arctg

1 − x

, x0=1/4.

1

−

x

127

26.y = (2x2 + 6x + 5)arctg x + 1 − x, x0=2. x + 2

27. y =

x

arcsin 2x +

1

ln

(1 − 4x

2

), x0=1/4.

2 1 − 4x2

8

28. y = 2x2 − x +

1

arctg

x2 − 1

−

x3

−

3

x, x0=2.

2

2

x

3

2

3

29. y = (x + 2

x + 2)arctg

x

−

x, x0=2.

x + 2

30. y = 1 + 2x − x2 arcsin

x

2

−

2 ln (1 + x), x0=2.

tg (x 2)+ 1

1 + x

31. y = arctg

, x0=2.

2

3.15. "-&( " )# * ) *-"

- % % y = uv, u=u(x), v=v(x). -

: (uv )′ = uv (v ln u)′ = uv v′ ln u +

v

u′

,

(uv )′ = v uv−1 u′ + uv ln u v′ .

u

!

' 1:

# y = x x .

1 ′

1

1

1

2 y′ = x

=

1

x

−1 + x

ln x

−

1

= x

1

−

ln x

.3

x

x

x

x

x

x2

x2

x2

' 2: # y = (sin x)tg x .

2 y′ = tg x (sin x)tg x−1 cos x + (sin x)tg x ln (sin x)

1

=

ln (sin x)

cos2 x

= (sin x)

tg x

1 +

.3

cos2 x

# -%, -

. #:

1." # ( ):

ln y = ln f(x) = ϕ(x).

2.# , ln

% x: 1 y′ = ϕ′(x). y

128

3.$ y' = y·ϕ '(x) = f(x)·(ln f(x))'.

!

&

y = (cos 2x)ln(cos 2x)4 .

2 1. & loga xy = loga x + loga y loga xk = k loga x
% :
		ln y = 1	4 ln (cos 2x) ln (cos 2x) = 1			4 ln2 (cos 2x).
2. % ( ) # % ,
%: y′ = 1	4	2 ln (cos 2x)		2 (−1) sin 2x	= − ln (cos 2x) tg2x.
y				cos 2x

& : y′ = − y ln (cos 2x) tg2x.

3. ' , %: y′ = − (cos 2x)ln(cos 2 x)/ 4 ln (cos 2x) tg2x .3

3.16. " # !$ " % 3.7

/ ’ , # (

.

&
1. y = (arctg x)(1 2) ln(arctg x) , x0=2.	2. y = (sin x)ln(sin x), x0=1/4.

3. y = (sin x)5ex , x0=2. 5. y = (ln x)3x , x0=2.

7. y = (ctg3x)2 ex , x0=1/4. 9. y = (tg x)4 ex , x0=1/4.

11.	y = (xsin x)8ln( xsin x) , x0=2.
13.	y = (x3 + 4)tg x , x0=2.
15.	y = (x2 − 1)sh x , x0=2.
17.	y = (sin x)5x 2 , x0=2.
19.	y = 19x19 x19, x0=1.

4. y = (arcsin x)ex , x0=1/4.

6. y = xarcsin x, x0=1/4.

8. y = xetg x , x0=2.

10.	y = (cos5x)ex			, x0=1/4.
12.	y = (x − 5)ch x , x0=6.
14.	y = xsin x3		, x0=2.
16.	y = (x4	+ 5)ctg x , x0=2.
18.	y = (x2	+ 1)cos x , x0=2.
20.	y = x3x	2x, x0=2.

129

,

21. y = (sin x )e1x , x0=2.

23. y = xecos x , x0=2. 25. y = xesin x , x0=2.

27. y = xearctg x , x0=2.

29. y = x29x 29x, x0=1/4.

31. y = xex x9 , x0=1.

22. y = xectg x , x0=2.

24. y = x2x 5x, x0=2.

26. y = (tg x)ln( tg x)4 , x0=1/4.

( )th x

28. y = x8 + 1 , x0=2.

30. y = (cos2x)ln(cos2x)4 , x0=1/4.

3.17. (( ) * ! )# *. 5"' ' 6 ) * ! ' -

) % y=f(x) [ ; b].

' % 0 [ ; b] % :

lim	∆y = f ′(x0 ).
∆x→0	∆x

∆y = f ′(x )+ α (∆x), α → 0 ∆x → 0 . ∆x 0

' +x, :

+y = f '(x0)·+x + α·+x.

, +y y=f(x), - %-, # , ( % -

( f '( 0)=0), - +x, – -

- , +x. !

, # f '(x0)·+x 0 -

dy.

, , - y=f(x) % f '(x) x, #

f '(x) +x -

: dy = f '(x)·+x.

& y= x. $ y' = (x)' = 1 , , dy=dx=+x. , , dx x %

+x. , : dy = f '(x)dx.

< ( , - f ′(x) = lim ∆y . ,

∆x→0 ∆x

( -

.

* ( , - % , %

. / .

0- x +y = f(x++x) – f(x)

+y = A·+x + 7, 7 – , - -

130