Высшая математика. Том 2

' 1: y = (x − 1)13 .

2 D(y) = R.

& -

.

y

′

1

(x − 1)

− 2

3

y

′′

2

= 3

;

= − 9

(x − 1)53 .

*. 3.32.

( ) y = 3 x − 1

% x=1. % -

. , x = 1. ; (1; +?), (–?; 1).3

' 2: y = e− x2 .

2 D(y) = R, y′ = −2xe− x2 .

y′′ = −2e− x2 + 4x2e− x2 = 2e− x2 (2x2 − 1).

:

, ’( : 2x2 – 1 = 0.

*. 3.33.

( ) y = e− x2

	&	x	= ± 1 . , − 1				, + 1 . ;
		1,2	2				2	2
	− 1 ; 1			−∞;− 1
						1	;+∞ .3
	2	2			2		2
			3.39. & ' ( ( 8 )				)#	*

' - # .

#

-

% ,

-

#

#-

% .

'

%

-

= f(x), -

M

%

M ,

*. 3.33.

<

#

%

# # .

1 # % , ( #-

# #, -

# (.

161

0- δ M ,

, - δ M .

.

	( !$ & ' ( (
	) x> x0 #- # =f(x) # %
# , #					x→x	(	x	)	= ∞ #	x→ x −0	f	(	x	)	= ∞			#
					lim f					lim
	(		)		0					0
lim f		x		= ∞ . , , - x = x												% -
x→x +0															0
0								0			x→x				(		)
. , - x						= x			% ,		lim			f		x		= ∞ .
													0

, , = f(x) - % , - f(x) 6? # x6 x0–0 # x6x0+0, x=x0.

, ( = f(x)

# x = x0, # % -

( ). , %

x = x0.

!

&

' 1:

y = x +

1

.

x

−

2

1

1

2

lim

x +

= −∞

, lim

x +

= +∞ ,

x→2−0

x − 2

x→2+0

x − 2

% x = 2 .3

' 2:

1

y = e x .

1

1

−∞

1

2 lim e x

= +∞ ,

lim e

x

= e

=

= 0

e

∞

x→0+0

x→0−0

' x = 0 – .3

! & ' ( (

– , - =f(x) % -

, # =kx+b. ( % k b.

4 ' 14. ' =kx+b x6+?

= f(x) ,
k = lim	f	(	x	)	,	b = lim	f (x)− kx .
		x
x→+∞						x→+∞

< x 6 –?.

162

*. 3.34. $	*. 3.35. '

& # .

5 #" 6 1. , %, - -

. ', - # %

# # % , %.

5 #" 6 2. 4 , k = 0 = b % -

. %, -

lim f	(	x	)	= b # lim f	(	x	)	= b .
x→+∞				x→−∞

5 #" 6 3. ! ( k b # x 6 +? x 6 –?, , x 6 +?

x6 –?.

!

&

' 1: y =

x2 + 2x − 1

.

x

x2 + 2x − 1

x2

+ 2x − 1

1

= −∞ .

2 $

lim

= −

= +∞ ,

lim

x

x

x→0−0

x

x→0+0

x = 0 – .

' k = lim x2 + 2x − 1 = 1,

x→+∞ x2

		2	+ 2x − 1
b = lim	x				− x	= 2 .
			x
x→+∞

' x 6 –? % k b. , y= x+2 % -

. 3

' 2: y = e–x sin x + x.

2 ; # , , -

%. ' :

163

) x 6+?

k = lim

e− x sin x + x

sin x

= lim

+ 1 = 1,

x

x

x→+∞

x→+∞ xe

b = lim

(e

− x

sin x + x − x)= lim

sin x

= 0 .

e

x

x→+∞

x→+∞

, x 6 +? = .

#) x 6–?

e− x sin x + x

− x

sin x

k = lim

= lim e

+ 1 = ∞ .

x

x

x→−∞

x→−∞

− x

& " lim

e

= − lim e− x = −e∞ = −∞ .

x→−∞

x

x→−∞

, x 6 –? %.3

' 3: y = x – 2arctg x.

2 ; # , , -

%.

'

) x 6+?

2 arctg x

k = lim

x − 2 arctg x

= lim 1

−

= 1.

x

x

x→+∞

x→+∞

b = lim

(

x − 2 arctg x − x

)

= −2 lim

arctg x

)

= −π .

x→+∞

x→+∞ (

' y = x– , x 6+?.

#) x 6–?

k = lim

x − 2 arctg x

= 1,b = −2 lim

(

arctg x

)

= π .

x→−∞

x

x→−∞

, x 6 –? y = x+ ,.3

3.40. " # !$ " % 3.15

/ ’ , # (

.

	&		y = (x2 + 1)
1.	y = (17 − x2 ) (4x − 5).	2.		4x2 − 3.
3.	y = (x3 − 4x) (3x2 − 4).	4.	y = (4x2 + 9)	(4x + 8).
5.	y = (4x3 + 3x2 − 8x − 2) (2 − 3x2 ).	6.	y = (x2 − 3)	3x2 − 2 .
7.	y = (2x2 − 6) (x − 2).	8.	y = (2x3 + 2x2 − 3x −1) (2 − 4x2 ).

164

9. y = (x3 − 5x) (5 − 3x2 ).					10.	y = (2x2 − 6x + 4) (3x − 2).
11.	y = (2 − x2 )		9x2 − 4 .		12.	y = (4x3 − 3x)		(4x2 − 1).
13.	y = (3x2 − 7)		(2x + 1).		14.	y = (x2	+ 16)	9x2 − 8 .
15.	y = (x3	+ 3x2 − 2x − 2)		(2 − 3x2 ).	16.	y = (21 − x2 )		(7x + 9).
17.	y = (2x2 − 1)		x2 − 2 .		18.	y = (2x3 − 3x2 − 2x +1) (1− 3x2 ).
19.	y = (x2 − 11)		(4x − 3).		20.	y = (2x2 − 9)		x2 − 1.
21.	y = (x3	− 2x2 − 3x + 2)		(1 − x2 ).	22.	y = (x2	+ 2x − 1)		(2x + 1).
23.	y = (x3	+ x2 − 3x − 1) (2x2 − 2).			24.	y = (x2	+ 6x + 9)		(x + 4).
25.	y = (3x2 − 10)		4x2 − 1.		26.	y = (x2	− 2x + 2)		(x + 3).
27.	y = (2x3 + 2x2 − 9x − 3)			(2x2 − 3).	28.	y = (3x2 − 10)		(3 − 2x).
29.	y = (− x2 − 4x + 13) (4x + 3).				30.	y = (−8 − x2 )			x2 − 4 .
31.	y = (9 − 10x2 )		4x2 − 1.

3.41. 5 8 !$ & ' &! 6 )# * + 7# " 8 ) "

1. & # D f (x).

2. &'% .

0- f (− x) = f (x), f (x) % . ! -

- ( Oy).

0- f (− x) = − f (x), f (x) % . !

- . 3. &'% .

0- f (x + T ) = f (x) T>0, f (x) %

. ! %

… , [–2T; –T], [–T; 0], [0; T], [T; 2T], … . , #

#- -

( .

4. &

# ( ). :

– # % f ′(x) , #

, f ′(x) = 0, ± ∞ # %;

165

#

– % , #

: - f ′(x) > 0 , %, - f ′(x)< 0 , # %;

–- % (

# x0D), x0 – : - -

% « » « » – , - « »« » – . 0- # %

, %.

5. & .

:

– # % f ′′(x) , : f ′′(x) = 0, ± ∞ # %;

– % ,

: - f ′′(x)< 0 , , - f ′′(x) > 0 , -

;

–- % (- -

# x0D), f ′′(x) = 0, ± ∞ # %, x0 – -

.

6.& .

) $ : ,

# x0 D , ( - D (− ∞;∞), %

lim f

(

x

)

/#

lim

f

(

x

)

.

x→x −0

x→x

+0

k

k

0- # , x = xk

–

y = f (x).

#) ': -

lim

f (x)

= k lim

f (x)− kx = b ,

x

x→±∞

x→±∞

y = f (x) ( -

y = kx + b

–

k = 0 , b = lim f (x), y = b – ).

x→±∞

5 #" 6 1. < x 6+?

x 6–? -

.

5 #" 6 2. ' #

. 7. .% .

!

' y = x3 − 4 x2

21. # : x ≠ 0 # D(y) = (−∞;0) (0;+∞ )

2.; , , :

166

y(−x) = (− x)3 − 4 = − x3 − 4 ≠ ± y(x)

(− x)2 x2

3.; % .

4.#.

: :

y′ =

(x3 − 4)′ x2 −

(x3 − 4)

(x

2 )′

3x4

− 2x(x3 −

4)

3x4 − 2x4 + 8x

x3 + 8

=

=

=

x

4

x4

x4

x3

1 :

(−2)3 + 8

x = −2 , y′

=

x3 + 8

=

= 0

x3

(−2)3

x = 0 , y′

=

x3

+ 8

=

8

= ∞

x3

0

& #

x

(− ∞;−2)

− 2

(− 2;0)

0

(0;+∞)

y

− 3

%

y′

0

%

y′′

%

1 % x (−∞;−2) (0;+∞)− y′ > 0

1 # % x (−2;0)− y′ < 0

, :

(x0; y0 ) = (−2;−3)–

% « » « » ( x0 #-

x0 D ).

5.. , .

: :

y′′ =	(x3 + 8)′ x3 − (x3 + 8) (x3 )′	=	3x2 x3	− 3x2 (x3 + 8)	=	3x5 − 3x5 − 24x2	=	−24	.
	x6			x6		x4		x4
	1 : x = 0 , y′′ = −24 = −24 = −∞
					x4	0
	1 x (−∞;0) (0;+∞)− y′′ < 0 .

167

, %, % -

#

x0 D

6. <.
) : ,
# x0 D , ( - D (−∞;∞), %
lim	f (x) = lim	x3 − 4			− 0(x < 0) x	2	→ 0 +		−λ	= −∞ .
		x	2 = x → 0					0 =	0 + 0
x→xk −0	x→0−0

, x = x0 = 0 – -

#) : y = kx + b – , :

f (x)

(x3 − 4)

x2

1 −

4

1

± 0

k = lim

x3

= lim

= lim

=

= 1.

x→±∞

x

x→±∞

x

x→±∞

1

1

b = lim

f (x)− k x = lim

x3 − 4

x3 − 4 − x3

−4

− x

= lim

= lim

2

= 0 .

x

2

x

2

x→±∞

x→±∞

x→±∞

x→±∞ x

' (

% y = x – .

.

y(0) = x3 − 4 = ∞ – # - x2

" %

0 = x3 − 4 0 = x3 − 4 x = 3 4 – x2

# " (1,58; 0)

7. &		# %	*. 3.36.	!	y =	x	3	− 4
.
							x2
. 3.36

y = x3 − 4 # Maxima.3 x2

3.42. " # !$ " % 3.16

/ ’ , # (

.

' # .

168

1.	y = (x3 + 4) x2 .
3.	y = 2 (x2 + 2x).
5.	y = 12x (9 + x2 ).
7.	y = (4 − x3 ) x2 .
9.	y = (2x3 + 1) x2 .

11.	y = x2	(		)	2 .
			x − 1
13.	y = (12 − 3x2 )				(x2 + 12).
15.	y = −8x		(x2 + 4).
17.	y = (3x4 + 1)				x3 .
19.	y = 8(x − 1)			(x + 1)2 .
21.	y = 4 (x2 + 2x − 3).
23.	y = (x2 + 2x − 7) (x2 + 2x − 3).
25.	y = − (x (x + 2))2 .
27.	y = 4(x + 1)2				(x2 + 2x + 4).
29.	y = (x2 − 6x + 9) (x − 1)2 .
31.	y = (x3 − 4)			x2 .

2.	y = (x2 − x + 1)	(x − 1).
4.	y = 4x2 (3 + x2 ).
6.	y = (x2 − 3x + 3)	(x − 1).
8.	y = (x2 − 4x + 1)	(x − 4).

		(			)		x2 .
10.	y =	(	x − 1 2
12.						)	2 .
	y =	1 + 1 x							(x2 − 2x+13).
14.	y = (9 + 6x− 3x2 )
16.	y =	(	(	x	)		(	x +	))	2 .
					− 1				1
18.	y = 4x				(x + 1)2 .
20.	y = (1 − 2x3 )							x2 .
22.	y = 4 (3 + 2x − x2 ).
24.	y = 1 (x4 − 1).
26.	y = (x3 − 32)							x2 .
28.	y = (		3x − 2)					x3 .
30.	y = (x3 − 27x + 54)									x3 .

3.43. " # !$ " % 3.17

/ ’ , # (

.

' # .

		y = (2x + 3)e						−2		x+1			e2( x+1)
	1.								(	) .	2.	y =					.
													2	(	)
															x + 1
	3.	y = 3ln			x		− 1.				4.	y = (3 − x)ex−2 .
				x −		3
	5.	y =	e2− x		.						6.	y = ln			x	+ 1.
			2 − x												x + 2

169

7. y = (x − 2)e3− x .

9. y = 3 − 3ln x . x + 4

2(x+2)

11. y = e( ).

2 x + 2

13. y = (2x + 5)e−2( x+2) .

15. y = 2ln	x	− 1.
	x + 1

−2(x+2)

17. y = − e ( ).

2 x + 2

19.	y = (2x − 1)e2(1− x) .
21.	y = 2ln				x	− 3.
				x − 4
23.	y =	ex+3
					.
		x +	3
25.	y = − (2x + 3)e2( x+2) .

27. y = ln x − 5 + 2. x

29.y = ex−3 . x − 3

31. y = 2ln x − 1 + 1. x

2( x−1)

8. y = e( ).

2 x − 1

10. y = − (2x + 1)e2( x+1) .

	12.	y = ln			x			− 2.
				x −			2
	14.	y =	e3− x
						.
			3 − x
	16.	y = (4 − x)ex−3 .
	18.	y = 2ln			x + 3				− 3.
						x

20.y = − e−( x+2) . x + 2

22. y = − (x + 1)ex+2 .

24. y = ln	x	− 1.
	x + 5

−2( x−1)

26. y = − e ( ).

2 x − 1

28. y = (x + 4)e−( x+3) .

30. y = ln x + 6 − 1. x

3.44. " # !$ " % 3.18

/ ’ , # (

.

' #

1.	y = 3 (2 − x)(x2 − 4x + 1).	2.	y = −3 (x + 3)(x2 + 6x + 6).
3.	y = 3 (x + 2)(x2 + 4x + 1).	4.	y = 3 (x + 1)(x2 + 2x − 2).

170