Высшая математика. Том 2

1

#

1

lim 85− x

= !{x → 5 − 0} {5 − x → 0 + 0}

→ +∞

= ∞ .

− x

x→5−0

5

1

#

{x → −2 − 0} {x2 → 4 + 0}

%

1

&

!

) 4:

lim

x2 −4

= 0 .

3

= !

2

1

x→−2−0

,

−

!!{x

− 4

→ 0 + 0}

→ +∞

2

− 4

x

) 5: - , ! "

y = 12 + x2 . 3x − 4

3 - , ! , -

, , -

4

: {3x − 4 ≠ 0} x ≠

3

.

lim

12 + x

2

=

#

+ 0(x >

4

) 3x − 4 → 0 + 0 12 + x

2

→ +∞ = +∞ .

!x → 4

3

3

x→

4

3

+0

3x − 4

!

3x − 4

2

2

lim

12 + x

#

− 0(x < 4

) 3x

−

4 → 0 − 0

12 + x

→ −∞ = −∞ .4

= !x → 4

3

3

x→

4

3

−0

3x − 4

!

3x − 4

2.33. % ! $

+ ! " " y = 1 x x=0 ( . .

2.15), , ! « » . #

" , . 2.16 2. , !

" .

# x0 = f(x), ! -

" .

2. 2.15. " " y = 1	2. 2.16. " "
x

101

;		, ! x= x0 " . 1 -
, ! x0		" lim			f ( x),
				x→ x0
! ,			lim	f ( x) ≠ f ( x0 ).
			x→ x0
) 1: 2 " ( . 2.17).
1 "				[0, 4]
x=3 0. ), x=3 " , -
x=3: lim	f ( x) = 2 ,		lim	f ( x) = 0 .
x→3−0		x→3+0
, , ! f(x) [0, 4].

) x = 0 , x=4 – , :

lim f

( x) =

lim

( x − 1)

= −1,

lim

f ( x) =

lim

(3 − x)

= −1.

x→0+0

x

→0+0

x→4−0

x→4−0

) 2: +

, " y =

1

x = 0.

1

x

1

, x=0 " :

lim

= −∞ ,

lim

= +∞ .

x→0−0 x

x→0+0 x

) 3: 7 y = 2 1x

x=0 ( . . 2.18).

1

#

−∞

1

1

#

+∞

,

x

= 0 ,

lim

2

x

=

2

= +∞ .

lim

2

=

2

=

2

∞

x→0−0

x→0+0

) x=0 " .

) 4: 7 y = sin 1 x x, x=0. ;

, .

2. 2.17. " "

f	(	x	)	=	x − 1,		!	0 ≤ x < 3		1
						− x,	!	3 ≤ x < 4	2. 2.18. " " y = 2
					3					x

102

% ! # !) :

# x0 " f(x) ,
! lim f ( x)		lim f ( x) ,
x→ x0 −0		x→ x0 +0

" x0,

f(x0). # , ! , -

.

;=3 . ; -

2 – 4 .

) 5: " , -

. 2.19, x=2

.

) 6: 7 y = sin x
x
x=0. 1
1- , -
.	2. 2.19. " "

		2.34. ! " 2.13
	, ’		,
		( Maxima).
	- , ! " ,
.
1.	y = (17 − x2 )	(4x − 5).	2.	y = (x2 + 1) (4x2 − 3).
3.	y = (x3 − 4x) (3x2 − 4).		4.	y = (4x2 + 9) (4x + 8).
5.	y = (4x3 + 3x2 − 8x − 2) (2 − 3x2 ). 6.			y = (x2 − 3) (3x2 − 2).
7.	y = (2x2 − 6) ( x − 2).		8.	y = (2x3 + 2x2 − 3x −1) (2 − 4x2 ).
9.	y = (x3 − 5x)	(5 − 3x2 ).	10.	y = (2x2 − 6x + 4) (3x − 2).
11.	y = (8 − x2 )	(25x2 − 4).	12.	y = (4x3 − 3x)	(4x2 −1).
13.	y = (3x2 − 7)	(2x + 1).	14.	y = (x2 + 16)	(9x2 − 8).
15.	y = (x3 + 3x2 − 2x − 2) (2 − 3x2 ).		16.	y = (21− x2 )	(7x + 9).
17.	y = (2x2 − 1)	(x2 − 2).	18.	y = (2x3 − 3x2 − 2x +1) (1− 3x2 ).

103

19.	y = (x2 − 11) (4x − 3).		20.	y = (2x2 − 9)		(x2 −1).
21.	y = (x3 − 2x2 − 3x + 2)	(1− x2 ).	22.	y = (x2	+ 2x − 1)		(2x + 1).
23.	y = (x3 + x2 − 3x −1) (	2x2 − 2).	24.	y = (x2	+ 6x + 9)		( x + 4).
25.	y = (3x2 −10) (4x2 − 1).		26.	y = (x2	− 2x + 2)		( x + 3).
27.	y = (2x3 + 2x2 − 9x − 3)	(2x2 − 3).	28.	y = (3x2 − 10)		(3 − 2x).
29.	y = (− x2 − 4x + 13) (4x + 3).		30.	y = (−8 − x2 )		(x2 − 4).

31.y = (9 − 10x2 )(4x2 − 1).

2.35!

#

) "					- ,
- , .
) " -
. 2		"		: -
S0 , !		T ST. $ -
r ! " :
r =	ST − S0		.			(2.3)
		S0
$ ,
r 100.
- " (2.3) ST					=	S0 (1 + r).

) , !

, . $ ,

! 1- S0 (1 + r) ,	(1 + r)
S1 = S0(1 + r), S2 = S0(1 + r)2. 5
S3 = S0(1 + r)3.	-
& "

n :

Sn = S0 (1 + r)n.

; " , -

. )

r $ ! k. + , -

,	Tk 1
	k
. #	T ( T ' )

ST " :

104

				%	r &m
			ST	= S0 1 +							(2.4)
				,	k −
#	T						T
# m = !			−							, ,
	T					T
	k							k
!, , T − .
6 r n
. # S0 ! ,											!
"										&n
				%				r
				S1 = S0 1	+						(2.5)
								n
				,						−

; " -

, ! « ». 0

, ! , " (2.4) (2.5) -

, k n ( k n -

) , " ST S1. -

" (2.5)

r &n

%

r &

n &r

r &

n r

*

%

%

r

%

r

S1

= lim S1 = S0

lim 1

+

= S0

lim

1

+

= S0

lim 1

+

.

n→∞

n→∞ ,

n −

n→∞

,

n −

n→∞ ,

n −

,

−

- , ! "

. - , ! r, ,	!
, S0 1 ! S1*,
" :
S1* = S0er.	(2.6)
6 S0 n
. ) re ,	-

S0 ! S1* " (2.6). ; -

, ! re — $ n ! , -

# r ) ! # $ . - "

(2.5)

*		%		re &n
S1	= S0	1	+		.
		,		n −

) " " (2.6), -

T = 1, r re:

%		r &			%	r	&
r = n ln 1	+	e		, r	= n en − 1 .
,		n −		e
					,		−
1 "					" .

105

2.36. + #’/ )

Maxima -

limit, : " , , -

. ; " x,

– n. *, ! -

: %e – "-

, %i – ( –1), %pi –

π. ) " : sqrt – , log –

". " : sin –

, asin – , cos – , acos – , tan – -

, atan – .

%	lim	(n + 3)3 + (n + 4)3			.
				4)4
	n → ∞ (n + 3)4 − (n +
3 ; (%i1) limit,

" , , . *, ! -

Maxima inf.

4

, ! plus minus

– .

- ,		!			"
y = (4x3 − 3x) (4x2 − 1)		.
3 ,			(%i2)	" . )	(%o3)
		solve,

: " , . %, " x=–1/2, x=1/2. % .

- , ! x=–1/2, x=1/2 II " -

,	–∞ +∞ .
		(%i8) " "

y = (4x3 − 3x)(4x2 − 1) plot2d.4

106

2. 2.21. " " y = (4x3 − 3x)(4x2 − 1)

107

0 !

1.0 " ? 0 ?

2.0 ? 0 " ?

3..

4.0 " ?

5.+ 0/0?

6.?

7.( " – " ,

.

-

. 0 ! #

’ .

108

3.

-

’ .

– , -

. -

-' . !." #. $

% -

. & -

% ' , - % .

' – , -

% ( .

3.1.

) % y=f(x), .

x y=f(x) % -

. * : x0 x.

* x–x0 % x x0 %-+x. , , +x=x–x0 ( # ,

).

& %

, - x=x0++x,

# -

. ,,

- x0 -

# f(x0),

x

f(x)= f(x0++x).

.

–y0=f(x)–f(x0)

=f(x) x0 -

y.

*. 3.1. '

,

,

+y=f(x)–f(x0)=f(x0++x)–f(x0).

109

& x0 % , -

x – . , y0=f(x0) % , =f(x) – -

. ' +y +x # +y % % +x.

/ ( :
∆y	=	f	(x0 + ∆x)− f (x0 )		=		f (x)− f	(x0 )
										.
∆x			∆x				∆x
0- ( +x>0 %, -
f(x) x0 f '(x0). ,
	f ′(x0 ) = lim			∆y = lim	f	(x)− f (x0 )			.
			∆x→0	∆x ∆x→0			∆x

=f(x) x0 % (-

+y +x,

.

&, - % % x

, # -

x.

' % f '(x), y ', dy . 1 - dx

x = % f '(a) # y'|x= a.

f(x) % -

% .

# -

:

1. x +x - f(x + +x).

2.

& - +y = f(x + +x) – f(x).

3.

/ (

∆y

=

f (x)− f (x0 )

-

∆x

∆x

( +x→0.

!

' 1: $ , f ′(0).

cos x − cos3x

x ≠ 0;

,

f (x) =

x

0, x = 0.

2

$ , %:

(3 ∆x)

f ′(0) = lim

f (0 + ∆x)− f (0)

= lim

cos ∆x − cos

.

∆x

∆x→0

∆x→0

∆x2

cos x − cos y = −2sin

x + y

sin

x − y

, :

2 sin (2∆x) sin ∆x

2

2

lim

= lim

4 sin (

2∆x) sin ∆x

= 4 .3

∆x2

2∆x ∆x

∆x→0

∆x→0

110