Высшая математика. Том 2

)

A& & ! "#&, - & " "#

x + y + z − 3 = 0,x − 3y − z + 5 = 0.

N " ! A& ! "# 9 + ' $ A& '-" 99 3. + = +' @ A 3 ! & ! "# 9 -# ! % #. !-, 3 & ! & ! %- D xOy C # " ' ! "# 9, C D3 z=0:

+. 1.24. 3 ! & ! "# 9 ! %

x + y = 3,

− = −

x 3y 5.

`" = ED + + #&, $#

3 & M1(1;2;0).

@ 3, C D3 y=0, C # 3 & ! & ! "# 9 ! % D

x + z = 3,

xOz

M2(–1; 0; 4).O

x − z = −5.

@ ' > " ' ! "# 9 # C !$ 99 3 > A !-

# 3 > " '. " E' @ ! A $ A& '-" & 3 & %1 ! "#$

! "# 9.

+! "# &D3$ s

B

3 %1 C # 9 + +-

# " ', = <9 '-

3 ". " =& " +! "# &D3 @ -

, ! # #, % E$ ! A& ! !-

& "$

A >

# ' >

n = A i + B j

+ C k

n

= A i

+ B j

+ C

2

k .

1

1

1

1

2

2

2

#& +! "# &D3$

s

! "# 9 L

# C & " $ A& # ' > -

=

i

j

k

.

+. 1.25. "# "

s

= n1

× n2

A1

B1

C1

! > ! %

A2

B2

C2

)

2x − 3y + z − 5 = 0,

3 @ -

? + @ ' " " ! "# 9

3x + y − 2z − 4 = 0

@ " &.

N ?$# 3 &, % = ! "#$. " E' @ A # - ' & , !, y=0 = # + + #& " ':

31

2x + z = 5,

M2(2; 0; 1).

4.

3x − 2z =

# ' ! %, % 3 D ' ! "#& # D '

= (3;1;−2). #& +! "# &D3$ ! "# 9 A&

n1

= (2;−3;1), n2

i

j

k

x − 2

y

z − 1

s

=

2

−3 1

= 5i

+ 7 j + 11k .

C, L:

=

=

.O

3

1

−2

5

7 11

1.24.% & ' ( 1.6

& ! ’" & > C3 3, A = 99 + 9# # # & C& @ &!.

! + 3 " " ! "# 9.

1. 2x + y + z − 2 = 0, 2x − y − 3z + 6 = 0.
2.	x − 3y + 2z + 2 = 0, x + 3y + z + 14 = 0.
3.	x − 2 y + z − 4 = 0, 2x + 2 y − z − 8 = 0.
4.	x + y + z − 2 = 0, x − y − 2z + 2 = 0.
5. 2x + 3y + z + 6 = 0, x − 3y − 2z + 3 = 0.
6. 3x + y − z − 6 = 0, 3x − y + 2z = 0.
7.	x + 5 y + 2z + 11 = 0, x − y − z −1 = 0.
8. 3x + 4 y − 2z + 1 = 0, 2x − 4 y + 3z + 4 = 0.
9. 5x + y − 3z + 4 = 0, x − y + 2z + 2 = 0.

10.	x − y − z − 2 = 0,	x − 2 y + z + 4 = 0.
11.	4x + y − 3z + 2 = 0,			2x − y + z − 8 = 0.
12.	3x + 3y − 2z − 1 = 0,			2x − 3y + z + 6 = 0.
13.	6x − 7 y − 4z − 2 = 0,			x + 7 y − z − 5 = 0.
14. 8x − y − 3z − 1 = 0,				x + y + z + 10 = 0.
15.	6x − 5y − 4z + 8 = 0,			6x + 5y + 3z + 4 = 0.
16.	x + 5y − z − 5 = 0, 2x − 5y + 2z + 5 = 0.
17.	2x − 3y + z + 6 = 0,			x − 3y − 2z + 3 = 0.
18.	5x + y + 2z + 4 = 0,			x − y − 3z + 2 = 0.
19.	4x + y + z + 2 = 0,		2x − y − 3z − 8 = 0.
20.	2x + y − 3z − 2 = 0,			2x − y + z + 6 = 0.
21.	x + y − 2z − 2 = 0,		x − y + z + 2 = 0.
22.	x + 5 y − z + 11 = 0,			x − y + 2z −1 = 0.
23.	x − y + z − 2 = 0,	x − 2 y − z + 4 = 0.
24.	6x − 7 y − z − 2 = 0,			x + 7 y − 4z − 5 = 0.

32

25.	x + 5y + 2z − 5 = 0,	2x − 5y − z + 5 = 0.
26.	x − 3y + z + 2 = 0, x + 3y + 2z + 14 = 0.
27.	2x + 3y − 2z + 6 = 0,	x − 3y + z + 3 = 0.
28.	3x + 4 y + 3z + 1 = 0,	2x − 4 y − 2z + 4 = 0.
29.	3x + 3y + z − 1 = 0,	2x − 3y − 2z + 6 = 0.
30.	6x − 5y + 3z + 8 = 0,	6x + 5y − 4z + 4 = 0.
31.	2x − 3y − 2z + 6 = 0,	x − 3y + z + 3 = 0.

1.25. 4% 5

B& # # C ! "# # ! + # # A& '-"$ + C > &-, & > # ! "# #, ! # 3 ' & 3 & ! ' & #.

M$ & ! + ! "#

l :

x − x1

=

y − y1

=

z − z1

,

l

2

:

x − x2

=

y − y2

=

z − z2

.

1

m1

n1

p1

m2

n2

p2

? , % &

( # C ! "# # # C !$" &

# C 9> +! "#-

&D3 # #

s1

s2 .

+ '

s1

= (m1, n1, p1 ), s2 = (m2 , n2 , p2 ),

6-

#& D " + &+ & # C # C #

m1m2 + n1n2 + p1 p2

cosϕ = ±

s1 s2

= ±

.

s1

s2

m2 + n2

+ p2

m2

+ n2 + p2

1

1

1

2

2

2

#

! ' + $

! ! & " +

>

! "# > + '

# ! ' + $ ! ! & " + 9> +! "# &D3 >

s1

s2 :

! "# ! , 9> ! 6 E < ! ! E$ , A-

l1 ! ' l2

,

s1

s2 ! ':

m1

n1

p1

s1 s2

=

=

.

m2

n2

p2

! "# ! ! & "

, + A& ! > 6 E-

< & D m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 .

)

1:

?$

&

# C

! "# #

l :

x − 1

=

y

=

z + 3

1

1

−4

1

x

y + 2

z

l

:

=

=

.

2

2 −2

−1

= (2,−2,−1),

N s1 =

(1,−4,1), s2

cosϕ =

1 2 + (−4) (−2)+ 1 (−1)

=

9

=

2

,

ϕ = π .O

9 2

2

1 + 16 + 1 4 + 4 + 1

4

33

2: ?$ " " ! "# 9, % ! > ' 3

3 & 1(1;2;3)

2x + 3y + 5z −

7 = 0,

! ' ! "#$ l1 :

+ z − 8 = 0.

3x − 4 y

N + ' =& ! "# l

! ' l1,

" +! "# &D3$

=& 9 ! "# 9 l # C & " +! "# &D3$ ! "# 9 l1.

i

j

k

x − 1

y − 2

z − 3

s =

2 3 5

= 23i

+ 13 j

− 17k

l :

=

=

. O

3

−4

1

23

13

17

3: ?$ " " ! "# 9, % ! > ' 3

3 &

1(–

4;0;2) ! ! & " ! "# #: l :

x + 1

=

y + 1

=

z

l

:

x − 2

=

y − 3

=

z − 5

.

2

1

2

3

4

3

2

2

N ! "# &D3$ ! "# 9 l # C $ " $ A&

i

j

k

x + 4

y

z − 2

s

s

: s

= s

× s

=

2

3

4

= −2i

+ 8 j

− 5k

l :

=

=

. O

2

2

1

1

3

2

2

−2 8

−5

1.26. 4% 5 " ! "

B& # # C ! "# D $ ! % D # # & , & $ ! "# D 99 ! E <D ! % &. M$ ! "# $ ! % " "#

l :

x − x0

=

y − y0

=

z − z0

, α: Ax + By + Cz + D = 0

m0

n0

p0

@ " # s

n . % &

# C # @ + $,

A&

π − ϕ , ( –

& # C ! "# D ! % D.

2

(

)

2

π

cos

sn

= cos

− ϕ

= sinϕ .

% &

# C # s n &!$,

$

π

+ ϕ .

2

C: cos(sn)= − sinϕ

+. 1.26. B& # C ! "# D

A sinϕ =

.

! % D

cos(sn)

? 6 #& D + &+ & # C #, C #:

sinϕ =			Am + Bn + Cp			.
	A2	+ B2 + C2 m2 + n2
					+ p2
$ . "# $ ! % ! !-
& " , +! "# &D3$ ! "# 9							!-
				s	# '$ n

34

A

B

C

% ,

A

l

α s n

=

=

.

n

m

p

$ . "# $ ! % !

$ '

,

! ! & ".

s

n

Am + Bn + Cp = 0 .

l α s

n

)

1: ! + " " ! %,

%

! > ' 3

3 &

%1(2;–3;4) ! ' ! "# >

l :

x

=

y − 1

=

z − 3

l

:

x + 1

=

y − 1

=

z + 5

.

N + ' M1 α ,

1

1

2

8

2

4

0

2

" " ! % =& # # & @ "

A(x − 2)+ B

(y + 3)

+ C (z − 4) = 0 .

? D ! ' + ! "# 9 $ ! %,

C # + + #& $>

15

A = 2,

" '

{

A + 2B + 8C = 0,

? +

B

=

A,

A

2

4A +

2C = 0.

B = 15

C

= −2A.

C

= −4.

C, α : 2(x − 2)+ 15(y + 3)− 4

(z − 4) = 0 A 2x + 15y − 4z + 57 = 0 .O

2: ?$

&

# C

! "# D

{

x − 3y − 1 = 0,

! % D

z =

4.

3x + y + 4 = 0 .

N ! "# &D3$ ! "# 9

i

j

k

s =

1

−3

0

= −3i

− j . # '$ -

0

0

1

3

(

−3 +1

(

−1 + 0 0

! % n = (3;1;0)

sinϕ

=

)

)

=

10

=1, ϕ = 900 .O

9 +1+ 0 9 +1+ 0

10

3: ?$

3 &, + # 3 &

$

%(0;–3;–2)

%

! "# 9

l :

x − 0,5

=

y + 1,5

=

z − 1,5

.

−1

0

1

N # " " ! % α ,

% ! ! & " ! "# 9 l.

= (0;−1;1).

M α , n = s

(

)

(

)

(

)

+. 2.27. # "

3

C, α : 0 x − 0 − y + 3 + z + 2 = 0,

% ! "# 9

A − y + z − 1 = 0 .

?$#

3 & ! & ! "# 9 l Q:

35

	x − 0,5					y + 1,5
				=			=
	0					−1
		− 1		=
− y + z					0

z − 1,5 =

1 t

	x = 0,5,		x = 0,5,
	y = −t − 1,5,		− y = t + 1,5,
	z = t + 1,5,		z = t + 1,5,
− y + z = 1.		y − z = −1.

{0x == t0,5,+ 1,5		− 1. {−2xt == 0,5,2.		x	= 0,5,
	+ t + 1,5		{xt == 0,5,−1. y = −t − 1,5		= 1 − 1,5 = −0,5,
C, N(0,5;–0,5;0,5).			z = t +	1,5 = −1 + 1,5 = 0,5.
M$ =&		3 %1 # < %1(x, y ,z). + '
MN	= NM1 , A (0,5;2,5;2,5)=( –0,5; +0,5; z–0,5).

? x=1, y=2, z=3 A %1(1;2;3). O

1.27.% & ' ( 1.7

& ! ’" & > C3 3, A = 99 + 9# # # & C& @ &!.

?$ 3 & ! & ! "# 9 $ ! %.

1.

x − 2

=

y − 3

=

z + 1

, x + 2 y + 3z −14 = 0.

−1

−1

4

2.

x + 1

=

y − 3

=

z + 1

, x + 2 y − 5z + 20 = 0.

3

−4

5

3.

x − 1

=

y + 5

=

z − 1

, x − 3y + 7z − 24 = 0.

−1

4

2

4.

x − 1

=

y

=

z + 3

, 2x − y + 4z = 0.

1

0

2

5.

x − 5

=

y − 3

=

z − 2

, 3x + y − 5z −12 = 0.

1

−1

0

6.

x + 1

=

y + 2

=

z − 3

, x + 3y − 5z + 9 = 0.

−3

2

−2

7.

x − 1

=

y − 2

=

z + 1

, x − 2 y + 5z + 17 = 0.

−2

1

−1

8.

x − 1

=

y − 2

=

z − 4

, x − 2 y + 4z − 19 = 0.

2

0

1

9.

x + 2

=

y − 1

=

z + 4

, 2x − y + 3z + 23 = 0.

−1

1

−1

10.

x + 2

=

y − 2

=

z + 3

, 2x − 3y − 5z − 7 = 0.

1

0

0

36

11.

x − 1

=

y − 1

=

z + 2

,

4x + 2 y − z −11 = 0.

2

−1

3

12.

x − 1

=

y + 1

=

z − 1

,

3x − 2 y − 4z − 8 = 0.

1

0

−1

13.

x + 2

=

y − 1

=

z + 3

,

x + 2 y − z − 2 = 0.

−1

1

2

14.

x + 3

=

y − 2

=

z + 2

,

5x − y + 4z + 3 = 0.

1

−5

3

15.

x − 2

=

y − 2

=

z − 4

,

x + 3y + 5z − 42 = 0.

2

−1

3

16.

x − 3

=

y − 4

=

z − 4

,

7x + y + 4z − 47 = 0.

−1

5

2

17.

x + 3

=

y − 1

=

z − 1

,

2x + 3y + 7z − 52 = 0.

2

3

5

18.

x − 3

=

y + 1

=

z + 3

,

3x + 4 y + 7z − 16 = 0.

2

3

2

19.

x − 5

=

y − 2

=

z + 4

,

2x − 5y + 4z + 24 = 0.

−2

0

−1

20.

x − 1

=

y − 8

=

z + 5

,

x − 2 y − 3z + 18 = 0.

8

−5

12

21.

x − 3

=

y − 1

=

z + 5

,

x + 7 y + 3z + 11 = 0.

1

−1

0

22.

x − 5

=

y + 3

=

z − 1

,

3x + 7 y − 5z −11 = 0.

−1

5

2

23.

x − 1

=

y − 2

=

z − 6

,

4x + y − 6z − 5 = 0.

7

1

−1

24.

x − 3

=

y + 2

=

z − 8

,

5x + 9 y + 4z − 25 = 0.

1

−1

0

25.

x + 1

=

y

=

z + 1

, x + 4 y + 13z − 23 = 0.

−2

0

3

26.

x − 1

=

y − 3

=

z + 5

,

3x − 2 y + 5z − 3 = 0.

6

1

3

27.

x − 2

=

y −1

=

z + 3

,

3x − y + 4z = 0.

4

−3

−2

28.

x − 1

=

y + 2

=

z − 3

,

x + 2 y − 5z + 16 = 0.

2

−5

−2

37

29.

x − 1

=

y − 3

=

z + 2

,

3x − 7 y − 2z + 7 = 0.

1

0

−2

30.

x + 3

=

y − 2

=

z + 5

,

5x + 7 y + 9z − 32 = 0.

0

−3

11

31.

x − 7

=

y − 3

=

z + 1

,

2x + y + 7z − 3 = 0.

3

1

−2

1.28.% & ' ( 1.8

& ! ’" & > C3 3, A = 99 + 9# # # & C& @ &!.

?$ 3 &

M ′ , + # 3 &

3E

M % ! "# 9 ( 1-15) A

! % ( 16-31).

x − 1

y + 1,5

z

1. M (0, −3, −2),

=

=

.

1

−1

1

2. M (2, −1, 1),

x − 4,5

=

y + 3

=

z − 2

.

1

−0,5

1

3.

M (1,

1,

1),

x − 2

=

y + 1,5

=

z − 1

.

1

−2

1

4.

M (1,

2,

3),

x − 0,5

=

y + 1,5

=

z − 1,5

.

0

−1

1

5.

M (1,

0,

−1),

x − 3,5

=

y − 1,5

=

z

.

2

2

0

6.

M (2,

1,

0),

x − 2

=

y + 1,5

=

z + 0,5

.

0

−1

1

7.

M (−2,

−3,

0 ),

x + 0,5

=

y + 1,5

=

z − 0,5

.

1

0

1

8. M (−1, 0, −1),

x

=

y − 1, 5

=

z − 2

.

−1

0

1

9.

M (0,

2,

1),

x −1,5

=

y

=

z − 2

.

2

−1

1

10. M (3,

−3,

−1),

x − 6

=

y − 3,5

=

z + 0,5

.

5

4

0

11. M (3,

3,

3),

x − 1

=

y − 1, 5

=

z − 3

.

−1

0

1

12. M (−1,

2,

0),

x + 0,5

=

y + 0,7

=

z − 2

.

1

−0,2

2

38

13.	M (2,	−2,	−3),				x − 1	=			y + 0,5					=				z + 1,5			.
							−1						0						0
14.	M (−1,	0,	1),			x + 0,5			=			y − 1			=		z − 4					.
					0								0						2
15.	M (0,	−3,	−2),				x − 0,5			=				y + 1,5				=			z − 1,5			.
	M (1,				0									−1					1
16.		0,	1), 4x + 6 y + 4z − 25 = 0.
17.	M (−1,	0,	−1), 2x + 6 y − 2z + 11 = 0.
18.	M (0,	2,	1), 2x + 4 y − 3 = 0.
19.	M (2,	1,	0), y + z + 2 = 0.
20.	M (−1,	2,	0), 4x − 5 y − z − 7 = 0.
21.	M (2,	−1,	1),		x − y + 2z − 2 = 0.
22.	M (1,	1, 1),		x + 4 y + 3z + 5 = 0.
23.	M (1,	2,	3),	2x + 10 y + 10z − 1 = 0.
24.	M (0,	−3,	−2),			2x + 10 y + 10z −1 = 0.
25.	M (1,	0,	−1),		2y + 4z −1 = 0.
26.	M (3,	−3,	−1), 2x − 4 y − 4z −13 = 0.
27.	M (−2,	−3, 0),				x + 5y + 4 = 0.
28.	M (2,	−2,	−3), y + z + 2 = 0.
29.	M (−1,	0,	1), 2x + 4 y − 3 = 0.
30.	M (3,	3,	3), 8x + 6 y + 8z − 25 = 0.
31.	M (−2,	0,	3), 2x − 2 y + 10z + 1 = 0.
					1.29. / %. . %

@ " # @ ' " " @ A &@ @ ! " &:

a11·x2 + 2a12·xy + a22·y2 + 2a13·x + 2a23·y + a33 = 0

% 3 ' "D3 #& " D & DD ' @ # 3 & D, " < '+" <D &@ @ ! " &. !+, @ ! A, !- A < "# &@ @ ! " &.

&! a11·x2 + 2a12·xy + a22·y2 < '+" @ &! D + = > 3-A 3 D 6 # D. &! 2a13·x + 2a23·y + a33 < '+"$D 3 + D " " &@ @ ! " &.

" " 9 &@ @ ! " & % ! ' - 9 + + # < '+" 6& E " f (a11, a12,..., a33) 6 E <-

39

aij E' @ " ", 3 " " 9 # "< '+" ! ! > 9 -

9 ! "# & 9 + + # .

′

# 3 #, " %

f (a11,a12,...,a33)

– 6 E < -

aij

" " 9 &@ @ ! " & $ + + # > ,

′

′

′

f (a11, a12 ,..., a33) = f (a11, a12,..., a33) .

4: 3

a11

a12

a13

I = a + a , I

a11

a12

2

=

, I

3

=

a

a

a

1

11

22

a12

a22

12

22

23

a13

a23

a33

D ' " " 9 &@ @ ! " & % ! ' - 9 + + # .

′

=

a11

a13

+

a22

a23

+ #

5: I2=0 I3=0, 3 I3

a13

a33

a23

a33

A& # " " 9 &@ @ ! " & % ! ' 9

+ + # .

′

3 I3 < '+" + # # " " 9 &@ @ ! " &.

B + 6 E " $ &@ @ ! " &

A. 1.1.

A E" 1.1

B + 6 E " $ &@ @ ! " &

(

' /

%

4 +

1.

I2 > 0 , I1I3 < 0

!+

x

2

+

y

2

= 1

a2

b2

2.

I2 > 0 , I1I3 > 0

"$ !+

x

2

+

y2

= −1

a2

b2

3.

I2 > 0 , I3 = 0

&" ! "#, %

x2

y2

! D '+"

+

= 0

a2

b2

4.

I2 < 0 , I3 ≠ 0

! A

x

2

−

y2

= ±1

a2

b2

5.

I2 < 0 , I3 = 0

! "#, % ! -

x2

+

y2

= 1

D '+"

a2

b2

6.

I2 = 0 , I3 ≠ 0

A

x2 = 2 py , y2 = 2 px

7.

I

′

< 0

! ' ! "#

x

= a

,

y

= a

2 = 0 , I3 = 0 , I3

2

2

2

2

8.

I

2 = 0 , I3 = 0 ,

I

′

> 0

&" ! '

x

2

= −a

2

,

3

! "#

y2 = −a2

9.

I

2 = 0 , I3 = 0 ,

I

′

= 0

! "#, % +! !-

x

2

= 0 ,

3

D '

y2 = 0

40