Отношение логического следования
Отношение совместности
Спасибо за внимание!!!
Диаграммы Венна (круги Эйлера)
A |
A |
|
A |
|
B |
B |
|
|
|
|
|
A |
A·B |
|
A+B |
A |
A |
|
A |
B
B B
A B |
A B |
A B |
Диаграмма МХН
Могу |
|
Хочу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
4 |
M |
|
X |
|
H |
5 M X H |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 M X H |
||||||||||||
2 M X H |
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 6 7 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
X H |
|||||||||||||||
1 |
|
3 M X H |
|
|
M |
||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
H |
|||
|
8 |
|
M |
X H |
|
M |
X |
||||||||||||||||||||
Надо
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 4 X H |
|||||||||
3 4 M X H |
M X H |
||||||||
! Логические формулы можно упрощать!
Законы логики и свойства логических операций
используются для упрощения логических выражений
(минимизации логических функций)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законы инверсии |
|||||||||||
|
|
|
A A 0 |
|
|
A A 1 |
|
|
|
|
Формулы склеивания: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(де Моргана): |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A A A |
|
|
A A A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A B) (A |
|
|
) A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A 1 A |
|
|
A 1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B A B |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A B) (A B) A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A 0 0 |
|
|
A 0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон двойного |
|
|
|
Переместительный закон: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Формулы |
|
|
|
|
|
|
|
отрицания: |
|
|
|
|
|
A B B A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
поглощения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A (A B) A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B B A |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A (A B) A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А B) |
|
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сочетательный закон: |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A (A B) A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A B) C A (B C) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
A ( |
|
B) A B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(A B) C A (B C) |
|
|||||||||||||||||
|
|
A |
|
|
|
|
A B (A& B) ( |
|
& |
|
) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
B) & (A |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|
A ( |
|
& B) A B |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A & (A B) A & B |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Законы логики
название
двойного отрицания исключения третьего
операции с константами
повторения
поглощения
переместительный
сочетательный
распределительный законы де Моргана
для И 
для ИЛИ
A A
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A A |
0 |
|
A |
A |
1 |
|||||||||||
A 0 0, A 1 A |
A 0 A, A 1 1 |
||||||||||||||||
|
A A A |
|
A A A |
||||||||||||||
|
A (A B) A |
A A B A |
|||||||||||||||
|
A B B A |
A B B A |
|||||||||||||||
A (B C) (A B) C |
A (B C) (A B) C |
||||||||||||||||
A B C (A B) (A C) |
A (B C) A B A C |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A B |
|
|
|
|
|
|
A B |
|
|
|
|
|||||
|
A |
B |
|
|
A |
B |
|
||||||||||
Упрощение логических выражений
Шаг 1. Заменить операции , , на их выражения через И, ИЛИ и НЕ:
AB A B A B
AB A B
AB A B A B
Шаг 2. Раскрыть инверсию сложных выражений по формулам де Моргана:
A B A B, A B A B
Шаг 3. Используя законы логики, упрощать выражение, стараясь применять закон исключенного третьего.
Упрощение логических выражений
Q M X H M X H (M M) X H X H
X (B A) (A B) (A
(B A) (A B) (A
раскрыли
формула де Моргана
(B A) A B (A C)
(B A A A) B (A C)
B A B (A C)
распределительный
А Ā=Л
B A (A C)
B A
идемпотентности
поглощения
Синтез логических выражений
A 
B 
X 
0 0 1
A B
0 
1 
1
A B 1 
0 
0 
1 1 1
A B
Шаг 1. Отметить строки в таблице, где X = 1.
Шаг 2. Для каждой из них записать логическое выражение, которое истинно только для этой строки.
Шаг 3. Сложить эти выражения и упростить результат.
распределительный
X A B A B A B
A A B (A A) (A B) A B
исключения |
распределительный |
исключения |
|
третьего |
третьего |
||
|