ОБЩАЯ ЭНЕРГЕТИКА_учебное пособие.pdf 5 семестр

Наиболее наглядно свойства реальных газов учитывает уравнение состояния Ван-дер-Ваальса

(p + a/υ2)(υ - b) = RT,

где а и b - постоянные козффициенты для данного вещества. Сопоставляя это уравнение с уравнением (1), отметим, что в уравнение Ван-дер-Ваальса входят два дополнительных члена а/υ2 и b. Физический смысл их становится ясен, если уравнение записать в виде

р = RT/(υ - b) - a/υ2.

Член а/υ2 учитывает силу взаимодействия между молекулами, которая уменьшает действие внешнего давления газа и пропорциональна квадрату числа

молекул, а следовательно, квадрату плотности газа ρ2 или обратно пропорциональна υ2.

Член b учитывает собственный объем молекул. Чем больше b, тем меньше расстояние между молекулами и больше число соударений молекул, а следовательно, и величина внешнего давления р. Уравнение Ван-дер-Ваальса дает приближенный результат.

Наиболее точным уравнением состояния реальных газов в настоящее время является уравнение, выведенное отечественными учеными М. П. Вукаловичем и И. И. Новиковым, учитывающее, влияние не только сил молекулярного взаимодействия и влияние собственного объема молекул, но и явление ассоциации молекул.

7.ПЕРВЫЙ ЗАКОН ТЕРМОДИНАМИКИ

7.1.Термодинамический процесс

Совокупность последовательных состояний рабочего тела при его взаимодействии с окружающей средой называется термодинамическим процессом. Для того чтобы к любому мгновенному состоянию рабочего тела в термодинамическом процессе можно было применить уравнение состояния, термодинамический процесс должен быть равновесным, т. е. он должен протекать при бесконечно малых разностях давлений и температур как в самом рабочем теле, так и между рабочим телом и окружающей средой. Для достижения равновесности процесс должен совершаться бесконечно медленно. Так как все реальные процессы происходят при конечных разностях давлений и температур, то все они неравновесны.

Обратимыми называются такие термодинамические процессы, которые могут быть проведены как в прямом направлении (например расширение) так и в обратном (сжатие) через одну и ту же последовательность промежуточных состояний с возвращением в исходное состояние как самого рабочего тела, так и окружающей среды. Обратимый процесс должен быть равновесным и происходить без трения и вихреобразования, для того чтобы работа не превращалась не-

31

обратимо в теплоту. Так как в природе все процессы неравновесны, то, следовательно, они и необратимы.

7.2. Первый закон термодинамики

Одним из основных законов природы является закон сохранения и превращения энергии. Впервые он был сформулирован в середине XVIII в. М. В. Ломоносовым. Большой вклад в развитие и обоснование этого закона внесли Д. Джоуль и Р. Майер, которые установили эквивалентность теплоты и работы и определили величину теплового эквивалента механической работы.

Первый закон термодинамики является частным случаем закона сохранения и превращения энергии применительно к процессам взаимного превращения различных видов энергии, включая теплоту и работу. Он утверждает: энергия изолированной системы W при всех ее превращениях остается постоянной и взаимное превращение теплоты Q и работы L происходит в строго определенных соотношениях, т.е. теплота и работа эквивалентны, или

W = const, dW = 0;

Q = AL,

где A - тепловой эквивалент механической работы.

При измерении теплоты и работы в одинаковых единицах (в Дж) А = 1 и не имеет размерности.

При рассмотрении термодинамического процесса в самом общем случае подводимая к рабочему телу теплота Q расходуется на изменение внутренней энергии тела U и совершение механической работы L, поэтому математическое выражение первого закона термодинамики для произвольного количества рабочего тела

Q = U+L;

(7.1)

для 1 кг рабочего тела

q = u+l;

в дифференциальной форме

dq=du+dl.

7.3.Изменение внутренней энергии и работа газа

втермодинамическом процессе

Под внутренней энергией тела понимается сумма кинетической и потенциальной энергии атомов и молекул. Первая обусловлена скоростью движения и массой частиц, вторая - их взаимным расположением и силами взаимодействия между ними.

Внутренняя энергия реального газа и является функцией состояния газа, т. е. функцией его параметров состояния, поэтому изменение ее в термодинамическом процессе не зависит от характера процесса, а определяется только начальными и конечными значениями параметров состояния, т. е.

32

u= u2 – u1 = f (p2; υ2; T2) – f (p1; υ1; T1).

Спомощью уравнения (6.1) любой из параметров может быть выражен через два других, поэтому изменение внутренней энергии может быть выражено функцией двух любых параметров состояния.

Внутренняя энергия идеального газа является функцией температуры газа и от давления не зависит: u=φ(T2) - φ(T1).

Для 1 кг идеального газа изменение внутренней энергии

u=u2 – u1 = cυ(T2-T1),

(7.2)

где сυ - теплоемкость газа при υ = const. Для элементарного процесса

du = cυdT.

(7.3)

Механическая работа L газа зависит от характера процесса. Рассмотрим работу произвольного количества газа m (кг) в цилиндре при перемещении поршня с площадью f на расстояние dS, как показано на рис. 7.1. Ввиду малости dS будем считать давление в цилиндре в процессе этого элементарного перемещения поршня постоянным и равным р. Тогда абсолютная работа, совершаемая газом при расширении, т. е. работа перемещения поршня под действием силы F = рf равна dL=FdS=pfdS. Изменение объема цилиндра dV = fdS следовательно, dL = pdV.

Р и с. 7.1. Графический способ определения механической работы газа

Графически элементарная работа dL (см. рис. 7.1) соответствует заштрихованной площадке.

Для 1 кг газа элементарная механическая работа газа
dl = pdυ.	(7.1)
	33

Если величина р переменная, то определение полной работы на участке 1-2 процесса, графическое изображение которого приведено на рис. 7.1:

V2

L L pdV

V1

Работа L на участке 1-2 в рυ-координатах соответствует площади 1-2-2'-1', расположенной под кривой, характеризующей процесс.

Для 1 кг газа

2
l = pd .	(7.2)
1

Если при расширении газа в цилиндре на наружную поверхность поршня оказывает давление окружающая среда, то полезная работа газа меньше на величину работы Lс сопротивления окружающей среды

Lс = р0 V = р0(V2 - V1)

или для 1 кг газа

lс = р0(υ2 - υ1),

где р0 - давление окружающей среды на наружную поверхность поршня. Таким образом, полезная работа газа

V2	2
Lп = pdVp0(V2-V1) или	lп = pd – p0(υ2 - υ1).
V1	1

Необходимо учитывать, что полученные для определения механической работы формулы справедливы только для равновесных и обратимых процессов. Площадь, ограниченная кривой, характеризующей процесс в p-υ - координатах, соответствует работе процесса только при обратимых процессах. При необратимых процессах часть работы превращается в теплоту и поэтому работу необратимого процесса нельзя определить по приведенным формулам. Площадь, ограниченная кривой, характеризующей процесс в рυ-координатах, не соответствует действительной работе. С учетом полученного соотношения для элементарной механической работы газа дифференциальное выражение первого закона термодинамики следующее:

dq = du + dl = cυdT + pdυ.	(7.3)
Для конечного процесса с 1 кг газа
2
q = u + l = cυ(T2 - T1) + pd .	(7.4)
1

Если учесть, что дифференциальное выражение работы pdυ может быть представлено в виде разности

pdυ = d(pυ) - υdp,

34

то равенство (7.3) примет вид

dq = du + d(pυ) – υdp = d(u + pυ) – υdp.

Сумма внутренней энергии u и произведения pυ представляют функцию состояния тела, называемую энтальпией:

i = u + pυ,

(7.5)

где pυ - работа проталкивания, численно равная работе, которую необходимо затратить, чтобы объем υ «протолкнуть» в область с давлением р. Например, работа, производимая при подаче 1 кг воды с удельным объемом υ0 в паровой котел с давлением р, равна pυ0. Величину pυ0 иногда называют потенциальной энергией объема.

Таким образом, с учетом равенства (11) дифференциальное выражение первого закона термодинамики

dq = di – υdp = cpdT- υdp.

Это выражение в сравнении с равенством (9) называют второй формой дифференциального выражения первого закона термодинамики. Произведение

υdp представляет некоторую элементарную работу, которая на рис. 7.2 представлена заштрихованной площадкой. Эту работу в отличие от механической работы газа называют располагаемой или технической работой. Располагаемая работа конечного процесса 1-2 произвольной массы газа

p2

L0 = - Vdp.

p1

Для 1 кг газа

p2

l0 = - dp

p1

Чтобы работа процесса с понижением давления была положительной (dp<0), принят знак минус.

Располагаемая или техническая работа газа 10 представляет работу, получаемую или затрачиваемую при перенесении массы газа в область с более низким или с более высоким давлением. Она является результатом трех работ. На рис. 9 показан графический способ определения располагаемой работы газа при понижении давления:

l0 = пл. а-1-2-b = пл. а-1-1’-0 + пл. 1-2-2'-1' – пл. 2-b-0-2' =

2

=p1υ1 + pd - p2υ2 = p1υ1 - p2υ2 + l.

1

35

Р и с. 7.2. Графический способ определения располагаемой работы газа с понижением давления

Площадь а-1-1'-0 характеризует работе процесса наполнения цилиндра газом при давлении р1. Работа, соответствующая площади 2-b-0-2', характеризует процесс выталкивания газа из цилиндра после совершения механической работы в процессе расширения.

Рассмотренная совокупность процессов соответствует рабочему процессу газовой турбины, совершающей полезную работу при понижении давления газа. Обратная последовательность процессов с наполнением цилиндра при низком давлении с последующими процессами сжатия и выталкивания из цилиндра сжатого газа при более высоком давлении соответствует рабочему процессу компрессорных машин.

Таким образом, для конечного процесса второе выражение первого закона термодинамики примет вид

p2

q = i + l0 = i2 - i1 - υdp.	(7.6)
p1

7.4. Уравнение первого закона термодинамики для движущегося газа

Математическое выражение первого закона термодинамики, приведенное в виде соотношения (4), справедливо для процессов, в которых газ не имеет перемещения в пространстве.

При движении газа со скоростью – с, подводимая к нему теплота в самом общем случае будет затрачиваться на изменение его внутренней и кинетической энергии, а также на совершение работы против внешних сил, поэтому первый закон термодинамики в дифференциальной форме для 1 кг движущегося газа

dq = du + dlпр + d(c2 / 2),

где dlпр - работа против внешних сил в рассматриваемом процессе с подводом теплоты dq; d(с2/2) - изменение кинетической энергии.

Работа проталкивания в элементарном процессе dlпр=d(pυ). Сумма du+d(pυ)=di. Следовательно,

36

dq = di+ d(c2 / 2).

Для идеального газа

dq = cp dT + d(c2 / 2).

Для конечного процесса

q = i2 - i1 + 0,5(c22 - c12).

(7.7)

Для идеального газа

q = cp(T2 - T1) + 0,5(c22 - c12).

Из равенства (7.7.) следует, что при движении газа с постоянной скоростью, когда с2 = с1 подводимая к газу теплота будет затрачиваться на увеличение его энтальпии, так как в этом случае

q = i2 - i1.

При адиабатном течении газа, когда q = 0, изменение кинетической энергии

газа равно

0,5(c22 - c12) = i1 - i2.

8.ТЕПЛОЕМКОСТЬ ГАЗОВ

8.1.Основные понятия. Истинная и средняя теплоемкость

Теплоемкостью тела называется количество теплоты, необходимое для повышения его температуры на 1 К. Теплота нагревания единицы количества вещества называется удельной теплоемкостью. Различают следующие удельные теплоемкости: массовую- с (на 1 кг), объемную С (на 1 нормальный м3) и мольную μс (на 1 моль).

Соотношение между удельными теплоемкостями следующее:
c = μс / μ= C·22,4 / μ,	(8.1)

где μ - молекулярная масса смеси.

Принято удельную теплоемкость называть просто теплоемкостью. Теплоемкость рабочего тела зависит от его природы, температуры тела и характера процесса, в котором происходит подвод или отвод теплоты. Теплоемкость газов с повышением температуры увеличивается. Если газ нагревают от t1°С до t2 °С и для нагревания 1 кг затрачивают q кДж теплоты, то средняя теплоемкость газа в рассматриваемом интервале температур

t2

cm = c = q / (t2 - t1).

t1

Если известны средние теплоемкости в интервале температур 0÷t1 и 0÷t2, то средняя теплоемкость в интервале температур t1 ÷ t2:

37

c

t2

t2

c

t1

/(t

t

).

(8.2.)

c

t

t

2

1

2

1

t1

0

0

t1

t2

Произведения c

t1 и

c

t2

соответственно

представляют количества теп-

0

0

лоты, необходимой для нагревания тела от 0° до t1 и t2. Разность этих количеств теплоты есть теплота нагревания тела от t1 до t2. При делении этого количества теплоты на разность температур t2 - t1 получаем среднюю теплоемкость тела в рассматриваемом интервале температур. Следует учитывать, что теплоемкость

газа в интервале температур t1÷t2 (при t1>0) будет больше c	t1		t2
		и	c
0			0
Теплоемкость, соответствующая определенной температуре,			называется ис-

тинной теплоемкостью. Истинная теплоемкость равна пределу, к которому

	стремится средняя теплоемкость при бесконечном уменьшении				интервала темпе-
	ратур t1 ÷ t2.
						Таблица 8.1
	Газ	μсυ	μсp	μсυ		μсp
		кДж/(моль·К)		ккал/(моль·К)
	Одноатомный	12,48	20,80	3		5
		20,80	29,10	5		7
	Двухатомный
		29,1	37,40	7		9
	Трех- и многоатомный

Если не учитывать зависимость теплоемкости от температуры, то для ориентировочного определения теплоемкости газов можно пользоваться табл. 8.1.

8.2. Зависимость теплоемкости от температуры и характера процесса

Зависимость теплоемкости газа от его температуры

c = a + bt + dt2 +….,

где а, b, d - постоянные коэффициенты, учитывающие физические свойства газа. Для двухатомных газов достаточную точность дают зависимости с=а+bt. Если истинная теплоемкость с = а + bt + dt2, то средняя теплоемкость в

интервале температур t1 ÷ t2:

t2

c a b/2 t1 t2 d/3 t12 t1t2 t22 .

t1

t2

Если t1 = 0, то c a b/2 t d/3 t2 .

0

Теплоемкость зависит от характера процесса. Особое значение имеют теплоемкости газа при постоянном давлении (в изобарном процессе) ср и постоянном

38

объеме (в изохорном процессе) сυ. Величина сυ меньше ср, так как при нагревании тела в изохорном процессе теплота затрачивается только на повышение температуры. При изобарном нагревании газ расширяется и совершает работу.

Теплота нагревания ср (соответствует повышению температуры 1 кг газа в изобарном процессе на 1 К) больше теплоты сυ на величину работы расширения, которая равна газовой постоянной R. Теплоемкости связаны формулой Майера

ср = сυ + R.	(8.3)
Для мольных теплоемкостей формула	Майера
μср - μсυ = 8314,3.

Отношение теплоемкостей ср и сυ для всех газов больше единицы

ср / сυ = k,

(8.4)

где k - показатель адиабаты.

Для одноатомных газов k= 5/3, для двухатомных k= 7/5, для трехатомных k=9/7.

При изменении температуры показатель k изменяется:

k = ср / сυ = (сυ + R)/ сυ = 1 + R / сυ.

Так как R величина постоянная, а сυ с повышением температуры увеличивается, то k уменьшается. Это необходимо учитывать, если расчет ведется с учетом зависимости теплоемкости от температуры.

Решая совместно равенства (8.3) и (8.4) относительно сυ и ср, получаем:

сυ = R / (k - 1) и ср = kR / (k - 1).

(8.5)

Соответственно мольные теплоемкости

μсυ = μR / (k - 1) = 8314,3 / (k - 1) и μср = 8314,3k / (k - 1).

Следовательно, мольные теплоемкости газов одинаковой атомности равны.

Теплота нагревания или охлаждения тела. Теплота нагревания или охлажде-

ния тела определяется по средней теплоемкости:

t2			t2						t2
Q = mc			t2 t1 VнC		t2			t1 22,4MC		t2 t1 ,
	t1			t1					t1
где m - масса; Vн - объем при нормальных условиях; М										- число молей.
Если известна теплота нагревания (или охлаждения) тела и задана его на-
чальная температура t1, то конечная температура тела
					t2
		t2 = t1 + Q / (mc						).	(8.6)
						t1
									39

t2

Так как t2 определяется по c , которая зависит от t2 , то задача решается ме-

t1

тодом последовательных приближений. Следует принять ориентировочное значе-

t2

ние t2 и по t1 и t2 с помощью таблиц средних теплоемкостей определить c по

t1

формуле (8.3), а затем t2 по формуле (8.6). Если расчетное значение t2 близко к принятому, задача считается решенной. Если t2 существенно отличается от принятой, необходимо вновь задаться величиной t2 и повторить расчет.

9.СМЕСИ ГАЗОВ

9.1.Состав смеси газов

Рабочее тело тепловых двигателей, холодильных машин, компрессоров и других теплотехнических устройств представляет собой смесь газов, состав которой может быть задан составом по массе:

- в абсолютных количествах

m = m1 + m2 + … + mn,

где m1, m2 и т. д. - массы смешиваемых газов; - в относительных долях

1 = m1 / m + m2 / m + … + mn / m = q1 + q2 + … + qn,

	n
т. е.	qi	1,	(9.1)
где qi - массовая доля	1		смеси, или составом по
	отдельного компонента
объему:

- в абсолютных количествах

V = V1 + V2 + … + Vn,

где V1, V2 и Vn - объемы отдельных компонентов при одинаковых физических условиях;

- в относительных долях

1 = V1 / V + V2 / V + … + Vn / V = r1 + r2 + … + rn,

т. е.

n
ri 1,	(9.2)
1
где ri - объемная доля отдельного компонента смеси.
Объемы V1, V2, … Vn, определенные при полном давлении смеси и	ее темпе-
ратуре, называются парциальными объемами.

Состав смеси может быть также задан числом молей М как сумма числа молей Мi отдельных компонентов смеси. Задание состава смеси числом молей со-

40