для первого курса / для первого курса / ВЫШКА / 14. Понятие линейного векторного пространства

Понятиелинейноговекторного пространства

Для дальнейшего изучения векторного анализа нам понадобится понятие векторного пространства.

Определение. Множество W элементов х,у, z,... называется линейным пространством, если по некоторому правилу:

1. Любым двум элементам х и у из W поставлен в соответствие элемент из W, обозначаемый х+у и называемый суммой элементов х и у.

2. Любому элементу х из WИ каждому числу поставлен в соответствие элемент из W, обозначаемый * x называемый произведением числа на элемент х, причем справедливы следующие аксиомы:

1)х+у=у+х;

2)(х+у)+z=x+(у+z);

3)*(х +у) = *х+ * y

4)( + )*x=x* + *x

5)( * )*x= ( *x) 6)1*x=x

7) существует нулевой элемент 0 такой, что х + 0 = х для любого х Ж; 8)для каждого элемента х существует противоположный

элемент — х такой, что х+ (—х) = 0.

Элементы любой природы, удовлетворяющие двум правилам и восьми аксиомам, по определению, образуют линейное пространство. Например, совокупность любых матриц размера тхп образует линейное пространство, поскольку для них выполнены оба правила и все аксиомы. Легко проверить, что совокупность геометрических векторов, например трехмерного пространства, также является линейным пространством.

Линейное пространство называется пустым, если оно состоит из нулевого элемента.