Контрольные вопросы

1.Дайте определение математического маятника, физического, оборотного.

2.Дайте определение приведенной длины физического маятника. Какой зависимостью она определяется?

3.От чего зависит период колебаний физического и математического маятников? Приведите формулы для их определения.

4.Какое из дифференциальных уравнений описывает гармонические колебания?

d 2 S

+ 2

β

dS

+ω

2

S = 0;

d 2 S

+ω

2

S = 0;

d 2 S

+ 2

β

dS

+ω

2

S = F(t).

dt2

dt

0

dt2

0

dt2

dt

0

5.Запишите уравнение гармонических колебаний и дайте определение параметров гармонических колебаний.

6.Дайте определение момента инерции материальной точки и твердого тела.

7.Сформулируйте теорему Штейнера.

8.Как достаточно точно получить промежуток времени в 1 секунду, если нет часов, но есть обычная линейка?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.:

Высш. шк., 1998, с. 255-261.

2.Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособ. для вту-

зов. – М.: Высш. шк., 2000, с. 361-363, с. 80-82.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8

СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Приборы и принадлежности: электронный осциллограф, звуковой генератор, фазорегулятор, трансформатор.

132

Цель работы: изучение явления сложения взаимно перпендикулярных колебаний одинаковых и разных частот и ознакомление с некоторыми применениями этого явления.

Краткая теория

Колебательные процессы одинакового характера независимо от их природы описываются одинаковыми уравнениями. В данной работе механические колебания моделируются электрическими колебаниями, которые легче воспроизвести и наблюдать с помощью электронного осциллографа.

Пусть точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты во взаимно перпендикулярных направлениях по оси х и по оси у. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

	х = Аcosωt;	(8.1)
	y = B cos(ωt +φ).

где ϕ − разность фаз колебаний.

Система уравнений (8.1) представляет собой уравнение траектории точки, заданной в параметрической форме. Определим уравнение траектории точки в явном виде, исключив из уравнений (8.1) время t.

Из первого уравнения следует, что

cosωt =	x	.	(8.2)
	A
Следовательно,
sin ωt = 1 − x2 .			(8.3)
	A2

Представим косинус во втором из уравнений (8.1) по формуле

косинуса суммы двух	углов, подставляя при этом вместо cos ωt
и sin ωt их значения	(8.2) и (8.3). В результате получим
y	=	x	cos φ − sin φ 1 −	x 2	.
		A		A2
B

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

x 2	+	y 2	−	2xy	cos φ = sin	2	φ	(8.4)
A2		B 2		AB

Это уравнение является в общем случае уравнением эллипса, не приведенным к осям координат. Таким образом, в общем случае точка, участвующая одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, движется по эллипсу.

Изучение сложения взаимно перпендикулярных колебаний в данной работе производится с помощью электронного осциллографа, в котором основной частью является электронно-лучевая трубка, схематически изображенная на рис. 8.1.

Рис. 8.1

Излучатель электронов катод К подобен катоду электронной лампы. Перед катодом находится диафрагма М с узким отверстием, так называемый управляющий электрод. На этот электрод с делителя напряжения подается отрицательный по отношению к катоду потенциал, изменением которого регулируется яркость луча. Цилиндрические электроды А1 и А2 − первый и второй аноды.

Потенциал второго анода выше потенциала первого анода. Электрическое поле между электродами М, А1 и А1, А2 ускоряет электроны и вместе с тем фокусирует их в одну точку флюоресцирующего экрана. Две пары пластин X и Y отклоняют электронный луч в вертикальной и горизонтальной плоскостях. Исследуемые напряжения, которыми моделируются механические гармонические колебания, подаются одновременно на горизонтально и вертикально отклоняющие пластины. Траектория луча изображает результат сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний.

Упражнение № 1. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты.

134

В данном упражнении предлагается исследовать уравнение (8.4) в некоторых частных случаях при фиксированных ϕ и научиться по виду результирующей траектории определять разность фаз слагаемых колебаний.

Задание выполняется на установке, собранной по следующей схеме (рис.8.2).

Рис. 8.2.
На рисунке: ГЗ - звуковой генератор;	ФР - фазорегулятор;

ЭО – электронный осциллограф.

Как видно из схемы, колебания одинаковой частоты одновременно подаются на вертикально и горизонтально отклоняющие пластины осциллографа. С помощью фазорегулятора задают нужный сдвиг фаз ϕ.

Порядок выполнения работы

!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Поворачивая ручку “рег. выхода” на звуковом генераторе, нужно следить за тем, чтобы вольтметр на нем не зашкаливал, иначе прибор может выйти из строя.

1.При ϕ=0 из уравнения (8.4) получите аналитический вид траектории колеблющейся точки в данном случае.

2.Собрав установку по схеме рис.2 и выполнив с помощью

фазорегулятора условие ϕ =0, проверьте справедливость вывода, сделанного в п.1.

Замечания. На ГЗ ручку “выходное сопротивление” поставьте в положение ''5'', ''множитель'' шкалы ''частота'' – в положение “×1”, “внутр. нагрузка” − в положение ''вкл.'', ''пределы шкал, ослабление'' – в положение 3V.

На осциллографе ручку ''делитель'' поставьте в положение ''до 220 В'', ''развертка'' − в положение ''0'', ''синхронизация'' − в положение ''внешн.''. Ручкой ''рег. выхода'' на ГЗ устанавливают необходимый уровень выходного сигнала, следя за тем, чтобы вольтметр не зашкаливал.

3.С помощью регуляторов усиления сигналов по оси х и по оси

уна осциллографе измените амплитуды складываемых колебаний

инаблюдайте изменения траектории. Для двух фиксированных произвольных значений амплитуд, в условных единицах шкалы

осциллографа, вычислите угол наклона α прямой линии к оси х и в соответствующем масштабе зарисуйте наблюдаемую картину. Данные запишите в табл.8.1.

				Таблица 8.1
№	Амплитуда	Амплитуда	α	Наблюдаемая картина
п.п.	А	В		(в масштабе) − чертеж
	(в усл. ед.)	(в усл. ед.)
1
2

4.Действия, описанные в п.1,2,3 повторите при условии φ = π. Результаты занесите в таблицу, аналогичную табл.8.1.

5.Выполнив операции, указанные в п. 1 при условии φ = π2 ,

проверьте результаты расчетов по картине на экране осциллографа.

6. Изменяя амплитуды складываемых колебаний, наблюдайте изменения траектории. Для трех зафиксированных произвольных значений амплитуд (в т. ч. А=В) в масштабе зарисуйте наблюдаемую картину. Данные занесите в табл.8.2.

136

			Таблица 8.2
№	Амплитуда	Амплитуда	Наблюдаемая картина
п.п.	А	В	(в масштабе) – чертеж
	(в усл. ед.)	(в усл. ед)
1
2
3

7. Наблюдайте и запишите вид траектории при произвольном значении ϕ, и определите это значение ϕ, учитывая следующее обстоятельство.

Для точек пересечения эллипса с осями координат (рис.8.3) уравнение

(4)имеет следующий вид: для х=0

	y	= sinφ ;	(8.5)
	B

для у=0

	x	= sinφ .	(8.6)
	A
Рис. 8.3

Таким образом, измеряя у и В или х и А (в условных единицах) по формуле (5) или (6) определите ϕ.

Упражнение № 2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний разных частот фигуры Лиссажу. Градуировка звукового генератора.

Если складываются колебания разных частот, причем отношение частот – число рациональное, то траектория результирующего колебания устойчива и имеет сложный вид – фигура Лиссажу

(рис.8.5)

Рис. 8.5

Если отношение частот – число иррациональное, то картина результирующего колебания будет непрерывно изменяться.

Если частота одного из колебаний известна, то по виду фигуры Лиссажу можно определить частоту другого. В этом заключается содержание данного упражнения. Сравните частот можно проделать осциллографическим методом, подавая на вертикально отклоняющие пластины напряжение с известной частотой (νy=50 Гц), а на горизонтально отклоняющие пластины − исследуемое напряжение с частотой νx.

За каждый период колебаний напряжения, подаваемого на вертикально отклоняющие пластины Y, луч дважды пересекает ось х (для X ось y), следовательно, отношение числа пересечений фигуры Лиссажу с осью х (nх) и осью у (ny) за время развертки колебаний равно отношению частот слагаемых колебаний, т. е.

νy

=

n

x

и ν

x

=ν

y

ny

.

(8.7)

νx

ny

nx

138

Отсюда правило определения неизвестной частоты. Через фигуру Лиссажу проводят две прямые, параллельные осям координат (рис.8.6) и подсчитывают число точек пересечения кривой с прямой АВ (nх) и с прямой СD (nу). В данном случае nх=3, nу=1, т. е.

νy = 3 . Когда прямая проходит через точку пересечения ветвей

νx 1

кривой, считают, что она дважды пересекает кривую.

Рис. 8.6

Пользуясь данным правилом можно определить неизвестную частоту, если есть осциллограф, или, например, можно отградуировать звуковой генератор, если на нем не проставлены деления на круге частот.

Порядок выполнения работы

1. Собирите схему в соответствии с рис. 8.7. Соедините выход генератора ГЗ с горизонтально отклоняющими пластинами осциллографа. Второй источник синусоидального напряжения – трансформатор (ν=50 Гц) с вертикально отклоняющими пластинами (вход Y) осциллографа.

Положение ручек-регуляторов осциллографа и звукового генератора см. в замечании к упражнению 1.