ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 9

ИССЛЕДОВАНИЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ РЕЗОНАНСА

Приборы и принадлежности: струна, закрепленная двумя концами, генератор стандартных сигналов, набор грузов, линейка.

Цель работы: проверка формулы для частот колебаний струны и определение линейной плотности материала струны.

Краткая теория

Гибкая однородная струна, закрепленная двумя концами и выведенная из положения равновесия, может совершать колебания различного вида. В струне могут установиться стоячие волны (в местах закрепления струны всегда имеем узел смещения). При этом на длине струны L будет укладываться всегда целое число стоячих волн. Известно также, что расстояние между двумя соседними точками струны, колеблющимися с одинаковой амплитудой, равно половине длины бегущей волны, поэтому можно написать

λ n = L,	(9.1)
2

где λ − длина бегущей волны; n − целое число полуволн (1, 2, 3...).

Длина волны λ связана со скоростью распространения импульса деформации вдоль струны с и частотой колебания струны ν соотношением

λ =	с	.	(9.2)
	ν

Учитывая выражения (9.1) и (9.2), имеем

	ν =	n	c.	(9.3)
		2L

Струна, стало быть, может колебаться не с одной частотой, а с целым спектром частот, что соответствует тому факту, что

142

струна – система, состоящая из бесконечного числа материальных точек.

Опыт показывает, что скорость распространения импульса деформации вдоль струны с определяется величиной натяжения F струны и линейной плотностью ρ материала струны, т. е.

с=f(F;ρ).

Эта закономерность может быть раскрыта, если применить

метод размерностей.

В самом деле, пусть

с=f(F;ρ)=Fmρn.

Так как размерности F, ρ и с равны
[F ]= [MLT −2 ];	[ρ]= [ML−1 ];	[c]= [LT −1 ],
где М − масса; L − длина; Т − время, то
[LT −1 ]= [MLT −2 ]m [ML−1 ]n .			(9.4)

Приравнивая показатели степени при одинаковых основаниях левой и правой части уравнения (9.4), получим

m−n=1; 2m=1; m+n=0,

откуда

m =	1	;	n = −	1 .
	2			2

Таким образом, имеем

c =	F .	(9.5)
	ρ

Если (9.5) подставить в (9.3), то получим окончательное выражение для частот колебаний струны в виде

ν =	n	F .	(9.6)
	2L	ρ

Это − частоты наиболее простых , так называемых собственных или нормальных колебаний. Наиболее общим случаем является колебание, в котором одновременно присутствуют все n собственных колебаний. Любое сложное колебание может быть представлено как наложение (суперпозиция) многих собственных колебаний, отличающихся не только величинами своих частот, но и величинами своих амплитуд для отдельных точек струны.

Распределение амплитуд отдельных точек струны при собственных колебаниях для различных значений п имеет вид, изображенный на рис. 9.1.

Рис. 9.1

В настоящей работе необходимо получить на струне стоячие волны, добиться получения нескольких картин распределения амплитуд, рассматривая их в момент резонанса, т.е. когда амплитуды максимальные, и количественно проверить формулу (9.6) для частот колебаний струны. При этом величины ρ, L, ν остаются постоянными, а изменяется только F – сила тяжести грузиков, что ведет к изменению п.

Описание установки

144

Рис. 9.2

Установка состоит (рис. 9.2) из струны, закрепленной в двух точках. Внешнее периодическое воздействие на струну осуществляется в верхней точке, где конец струны прикреплен к железной пластинке.

Конец этой железной пластинки находится между полюсами электромагнита С, питаемого от звукового генератора с частотами 20−200000 Гц. Сама пластинка B является частью магнитной цепи электромагнита D, питаемого постоянным током.

Нижний конец струны прикреплен к концу рычага Е, ось вращения этого рычага находится в точке О. Ниже находится чашечка N, в которую кладут грузы. На другом конце рычага Е находится противовес К, который уравновешивает вес

чашки N, когда в ней нет грузиков, поэтому натяжение струны F определяется только весом грузиков в чашке N.

Порядок выполнения работы

!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Поворачивая ручку «рег. выхода» на звуковом генераторе (ЗГ), нужно следить за тем, чтобы вольтметр на нем не зашкаливал, иначе прибор может выйти из строя. Не допускайте слишком сильных колебаний проволоки.

1.Положите в чашку N грузик массой 32,7 г. Включите звуковой генератор и цепь электромагнита.

2.Поворачивая ручку «частота» на ЗГ, добейтесь устойчивой

резонансной картины на струне в диапазоне частот (40±5)Гц. Запишите найденную частоту резонанса. Зарисуйте в масштабе полученную картину. Отсчитайте от нижнего края струны целое чис-

ло полуволн n и расстояние L, на котором укладывается это число полуволн (самый верхний участок струны учитывать не нужно).

3.Повторите п. 2 для грузов массой 69,7 и 106,9 г.

4.Для грузов массой 106,9 и 140,6 г получите устойчивые ре-

зонансные картины в диапазоне частот (55±5)Гц, как в п. 2. Зарисуйте их в масштабе и запишите n, L и ν.

5. Зная n, ν, F = mg и L, определите из формулы (9.6) ρ – линейную плотность материала струны.

Из всех значений найдите ρср. Расчеты ведите в системе СИ.

Техника безопасности

При выполнении работы соблюдайте общие правила по технике безопасности в соответствии с инструкцией для лаборатории по механике.

Контрольные вопросы

1. Какие значения для m и п получаются при решении этого равенства?

[LT −1 ]= [MLT −2 ]m [ML−1 ]n :

1)	m = −	1	, n=1;	2) m =			1	, n = −	1	;
		2					2		2
			3) m=1,	n =	1	;		4) m=2,			n = −	1	.
					2							2

2. По какой из приведенных формул определяется скорость импульса деформации в данной работе?

	1) λ=cT ;			2) ν =	λ	;
					с
	3) λ =	с	;	4) с =	λ .
		ν
					ν

3. Когда в струне образуется стоячая волна?

146

4. Чему равно расстояние между узлом и пучностью в стоячей волне?

а) длине бегущей волны; б) половине длины бегущей волны;

в) четверти длины бегущей волны; г) трем четвертям длины бегущей волны.

5. Какая из приведенных формул доказывает, что струна имеет спектр частот колебаний?

1) ν =	n	c ;	2)	λ n = L ;	3) ν =	с	.
	2L
				2		λ

6. Что такое объемная плотность вещества и какова размерность линейной плотности в системе СИ?

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Трофимова Т. И. Курс физики: Учеб. пособ. для втузов. – М.:

Высш. шк., 1998, с. 290-291.

2.Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: Учеб. пособ. для вту-

зов. – М.: Высш. шк., 2000, с. 398-400.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 10

ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНА БОЙЛЯ-МАРИОТТА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ СЫПУЧИХ ТЕЛ

Приборы и принадлежности: газовый объемометр, песок, весы с разновесами.

Цель работы: изучение одного из методов определения плотности сыпучих тел.

Краткая теория

Для определения плотности вещества ρ нужно знать массу и объем некоторого его количества:

ρ = m .	(10.1)
V

Массу вещества можно определить путем взвешивания, а объем твердых тел, имеющих правильную геометрическую форму, – измерением его линейных размеров. Объем твердых тел любой формы нетрудно найти, погружая эти тела в воду, налитую в мензурку, или взвешивая их в жидкости с известной плотностью.

Все эти методы, однако, не могут быть применены для определения объема сыпучих и простых веществ, растворимых или набухающих в жидкости. Объем таких тел удобно определять при помощи газового объемометра, работа которого основана на использовании закона Бойля-Мариотта. Газовый объемометр (рис. 10.1) состоит из металлического рабочего баллона А, присоединенной к нему снизу стеклянной колбы В, стеклянной манометрической трубки М и вспомогательного резервуара Р, наполненного водой.

Баллон А герметически закрывается крышкой, снабженной краном К. Внутри этого баллона устанавливается ведерко, в которое помещают исследуемое вещество (в данной работе – песок). Перемещая резервуар Р в вертикальном направлении, можно изменять уровень воды в резервуаре и в манометре (рис. 10.2).

Для определения объема вещества V, помещенного в баллон А, нужно найти объем воздуха, заключенного в этом баллоне, сначала без исследуемого вещества V1, а затем вместе с этим веществом V1′. Объем вещества равен, очевидно, разности измеренных объемов V1−V1′=V. Измерение объема исследуемого вещества происходит при постоянной температуре, т. е. процесс изотермический.

Рис. 10.1

Рис. 10.2

148

Изотермический процесс для газа подчиняется закону БойляМариотта:

PV= const.

Если применить этот закон к газу, объем и давление которого меняются так, как описано в работе, то получим

(V1 +V0 )P0 =V1(P0 +γh),

(10.2)

где V0 − объем стеклянной колбы В между выбранными метками, м3; V1 − объем воздуха в баллоне А, м3; Р0 – атмосферное давление, Па; h=H2−H1, м; γ − удельный вес воды, γ=9810 Н/м3.

Из выражения (10.2) следует

V	=	V0 P0	.	(10.3)
1		γh

Порядок выполнения работы

!!! ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ !!! Во избежание попадания воды в рабочий баллон А открывать кран К или откручивать крышку рабочего баллона разрешается только тогда, когда вспомогательный резервуар Р находится в крайнем нижнем положении. При открытом кране К поднимать резервуар Р следует медленно, учитывая, что уровень воды при этом поднимается с задержкой. Уровень воды в колбе В не должен подниматься выше самой этой колбы. Если в рабочий баллон, в котором находится ведерко с песком, попадет вода, то песок промокнет, перестав быть сыпучим телом. В этом случае песок может попасть вниз, в трубки, и вызвать их закупорку.

Перед началом измерений необходимо убедиться в герметичности установки. Для этого открывают кран К (вспомогательный резервуар должен быть внизу!), осторожно (медленно) устанавливают уровень воды на нижней метке колбы В, затем закрывают кран К, поднимают уровень воды до верхней метки и отмечают показание манометра М. Если уровень воды в манометре с течением времени заметно не изменяется, можно производить измерения.

1. При опущенном вспомогательном резервуаре открутите крышку рабочего баллона. В баллон А поставьте пустое ведерко (на ведерке снаружи не должно быть песчинок) и осторожно уста-

новите уровень воды на высоте верхней метки стеклянной колбы В. Кран К баллона А при этом открыт. Отметьте уровень Н1 в манометре М.

2.Уровень воды плавно понизьте до нижней метки колбы В, закройте кран К и вновь поднимите уровень воды в колбе В до верхней метки. При этом воздух из стеклянной колбы В перегоняется в баллон А, и давление в нем повышается. Уровень воды в манометре М поднимается до значения Н2.

3.По формуле (10.3) определите объем V1 воздуха в баллоне А, имея в виду, что h=Н2–Н1, 1 мм рт. ст. = 133,3 Па. Данные измерений и вычислений занесите в табл. 10.1.

4.Все измерения, указанные в пп. 1, 2, 3 повторите три раза и вычислите среднее значение V1ср.

5.При опущенном резервуаре Р открутите крышку баллона А. Поместите в баллон А ведерко с песком (на ведерке снаружи не должно быть песчинок) и повторите измерения, указанные в

пп. 1, 2. Отметьте показания манометра М: Н1′ при открытом кране

иН2′ – при закрытом.

6.Зная h1=Н2′−Н1′, найдите по формуле (10.3) объем V1′ воздуха в баллоне А с песком.

7.Все измерения, указанные в пп. 5, 6, повторите три раза и

вычислите среднее значение V1′ср. Данные всех измерений и вычислений занесите в табл. 10.1.

8.Взвесьте исследуемую порцию песка, определите массу m. Песок не высыпайте до конца работы.

9.Вычислите объем песка:

Vср=V1ср−V1′ср.

10. По формуле (10.1) вычислите плотность песка.

									Таблица 10.1
№		Пустое ведро				Ведро, наполненное песком
пп.
	Н1,		Н2,	V1,	V1ср,	Н1′,	Н2′,	V1′,	V1′ср,	Vср,
	м		м	м3	м3	м	м	м3	м3	м3
1
2
3

Техника безопасности

150