- •Министерство транспорта Российской Федерации
- •2. Вычисление двойного интеграла
- •3. Моменты инерции пластинки
- •4. Площадь
- •1.2. Тройной интеграл
- •5. Определение тройного интеграла
- •6. Вычисление тройного интеграла
- •7. Моменты инерции тела
- •8. Объем
- •1.3. Теория поля
- •9. Поток. Определение
- •10. Гидромеханический смысл потока
- •11. Вычисление потока
- •12. Дивергенция
- •13. Формула Остроградсткого
- •14. Линейный интеграл. Определение
- •15. Вычисление линейного интеграла
- •20. Потенциальное поле
- •II. Образец выполнения контрольной работы
- •III. Задание контрольной работы № 5.
- •Литература
4. Площадь
Площадь S пластинки Д равна
.
1.2. Тройной интеграл
5. Определение тройного интеграла
Пусть даны:
1) область W в трехмерном пространстве х, у, z;
2) функция трех переменных u = f(x,y,z);
Выполним следующее вычисление:
1) разобьем область W на произвольное число частей произвольных размеров и формы;
2) в каждой части выберем произвольную точку;
3) в каждой из этих точек вычислим значение данной функции;
4) умножим каждое их этих значений на объем соответствующей части;
5) все такие произведения сложим.
Получившееся число называется ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММОЙ функции f(x,y,z) в области W.
Предел интегрально суммы, когда размеры всех частей стремятся к нулю, а их число к бесконечности, называется ТРОЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ функции f(x,y,z) по области W.
Он обозначается .
6. Вычисление тройного интеграла
Пусть область W ограничена снизу графиком функции z=z1(x,y), а сверху графиком функции z=z2(x,y).
Для вычисления тройного интеграла
1) спроектируем область W на плоскость х, у. Проекцией будет некоторая область Д на этой плоскости;
2) зафиксируем в области Д. произвольную точку (х, у) и проведем через нее вертикальную прямую. Будем передвигаться по ней в направлении возрастания z; при этом f будет функцией только одной переменной z. Вычислим интеграл этой функции вдоль участка вертикальной прямой, расположенного в области W.
;
3) величина этого интеграла зависит от того, какая взята точка (х,у), т.е. является функцией двух переменных х и у. Найдем ее интеграл по области Д. Можно доказать, что получившееся число равно искомому тройному интегралу
7. Моменты инерции тела
Подобно тому, как физические величины, связанные с пластинкой, вычисляются как двойные интегралы, те же величины, связанные с пространственным телом, вычисляются как тройные интегралы.
Например, вывод формулы для момента инерции J0 тела относительно начала координат делается точно также, как и соответствующей формулы для пластинки (пункт 3) с заменой площадей частичных областей на объемы.
Моменты инерции однородного тела W относительно начала координат J0, оси абсцисс Jх, оси ординат Jy и оси аппликат Jz равны
,
,
Здесь ρ - объемная плотность.
8. Объем
Объем V тела W равен
V =
1.3. Теория поля
9. Поток. Определение
Если в каждой точке (х, у, z) некоторой пространственной области задан вектор, то говорят, что в этой области задано векторное поле. Например, поле скоростей текущей жидкости, поле векторов напряженности электрического заряда.
Пусть заданы:
1) векторное поле ;
2) кусок некоторой поверхности;
3) направление вектора единичной нормали к куску(направление нормали можно задать двумя способами. Например, если- часть сферы, то нормаль может смотреть стрелкой в центр сферы, а может - в противоположном направлении).
Выполним следующее вычисление:
1) разобьем кусок на произвольное числоN частей произвольных размеров и формы;
2) в каждой части выберем произвольную точку ();;
3) для каждой из этих точек найдем соответствующий вектор поля и вектор единичной нормали;
4) вычислим скалярные произведения ;
5) умножим каждое из этих произведений на площадь ∆Sm соответствующей частичной области. Получатся числа ;
6) сложив все эти числа, получим сумму ;
Предел этой суммы, когда размеры частичных областей стремятся к нулю, а их число к бесконечности называется ПОТОКОМ векторного поля через кусок поверхностиJ в направлении нормали .
Он обозначается .