10. Гидромеханический смысл потока

Если - поле скоростей текущей несжимаемой жидкости, то поток есть выраженное в единицах объема количество жидкости, протекающей в единицу времени через кусок поверхностиJ в направлении нормали . При этом количество жидкости, протекающее через те части кускаJ, где угол между векторами иострый, берется со знаком плюс, а через части, где этот угол тупой, - со знаком минус.

11. Вычисление потока

Пусть кусок J есть некоторая часть графика функции . Тогда вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла по формуле

,

где Д есть проекция куска J на плоскость х, у. Знак плюс перед двойным интегралом берется тогда, когда нормаль направлена вверх, минус - когда вниз.

12. Дивергенция

ДИВЕРГЕНЦИЕЙ векторного поля называется скалярная величина, обозначаемаяи равна.

Гидромеханический смысл дивергенции:

Пусть есть поле скоростей текущей сжимаемой жидкости. Кроме того, что такая жидкость движется, она сжимается или растягивается. Если в какой-то точке дивергенция отрицательна, то вблизи этой точки имеет место объемное сжатие, если положительна - растяжение. Абсолютная величина дивергенции служит мерой растяжения - сжатия жидкости вблизи этой точки.

13. Формула Остроградсткого

Нормаль к замкнутой поверхности может быть «внешней», если она направлена изнутри вовне, или «внутренней», если она направлена внутрь области, ограниченной поверхностью.

Поток поля через замкнутую поверхностьв направлении внешней нормалиможно вычислить по формуле Остроградского

.

где W - область, ограниченная поверхность .

14. Линейный интеграл. Определение

Дугу (кусок линии), на которой выбрано одно из двух возможных направлений, назовем направленной. Будем ее обозначать двумя буквами: первая - начало дуги, вторая - конец. Так что, если говорим о дуге АВ, то это означает, что на ней выбрано направление от А к В.

Пусть задано векторное поле

и направленная дуга АВ.

Выполним следующее вычисление:

1) разобьем дугу на произвольное число N частей произвольной длины:

2) вместе с каждой частичной дугой рассмотрим вектор

;

Начало которого совпадает с начальной точкой дуги, а конец - с конечной;

3) на каждой частичной дуге выберем произвольную точку ();

4) для каждой из этих точек найдем соответствующий вектор поля

.

5) составим скалярные произведения

;

6) найдем сумму этих произведений

;

7) предел этой суммы, когда длины частичных дуг стремятся к нулю, а их число к бесконечности, называется ЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ векторного поля вдоль направленной дугиАВ (или вдоль пути АВ). Он обозначается , или

.

15. Вычисление линейного интеграла

Пусть дуга АВ есть кусок линии, заданной параметрическими уравнениями , причем точка А получается при, а точка В - при. Тогда вычисление линейного интеграла сводится к вычислению определенного интеграла в соответствии с формулой

.

16. Механический смысл линейного интеграла

Если - поле сил, то линейный интегралесть работа, совершаемая силойпри перемещении материальной точки из положенияА в положение В по дуге АВ.

17. Ротор

РОТОРОМ векторного поля называется вектор, обозначаемый=

При вычислении определителя умножение символа частной производной (например, ) на функцию (например,Q) понимают как вычисление соответствующей частной производной ().

18. Гидромеханический смысл ротора

Пусть - поле скоростей текущей жидкости. Тогда, найденный для какой-нибудь точки, характеризует вращение жидкости вблизи этой точки. Именно:

1) прямая, на которой расположен ротор, будет осью, вокруг которой вращение происходит наиболее интенсивно;

2) глядя от конца ротора, увидим вращение жидкости, происходящим против часовй стрелки;

3) длина ротора является мерой интенсивности вращения жидкости.

19. Формула Стокса

Линейный интеграл вдоль замкнутого контура λ называется ЦИРКУЛЯЦИЕЙ и обозначается . Выбранное направление указывается дополнительно.

Циркуляцию можно вычислить по формуле Стокса

Здесь ζ - кусок любой поверхности, ограниченный контуром λ. Единичная нормаль к этому куску выбирается так, чтобы, глядя с ее конце, видеть движение по контуру в выбранном направлении, происходящим против часовой стрелки.

Словами эта формула читается так: циркуляция векторного поля вдоль какого-либо контура равна потоку ротора через любую поверхность, натянутую на контур.