- •Министерство транспорта Российской Федерации
- •2. Вычисление двойного интеграла
- •3. Моменты инерции пластинки
- •4. Площадь
- •1.2. Тройной интеграл
- •5. Определение тройного интеграла
- •6. Вычисление тройного интеграла
- •7. Моменты инерции тела
- •8. Объем
- •1.3. Теория поля
- •9. Поток. Определение
- •10. Гидромеханический смысл потока
- •11. Вычисление потока
- •12. Дивергенция
- •13. Формула Остроградсткого
- •14. Линейный интеграл. Определение
- •15. Вычисление линейного интеграла
- •20. Потенциальное поле
- •II. Образец выполнения контрольной работы
- •III. Задание контрольной работы № 5.
- •Литература
20. Потенциальное поле
Векторное поле на плоскости называется ПОТЕНЦИАЛЬНЫМ, если существует такая функция, что. При этомназывается ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ поля.
Теорема (признак потенциальности).
Если , то полепотенциально.
21. Линейный интеграл в потенциальном поле
Линейный интеграл в общем случае зависит как от положения точек А и В, так и от формы соединяющего их пути.
Теорема. В потенциальном поле линейный интеграл не зависит от формы пути.
Вследствие этого линейный интеграл в потенциальном поле обозначается или
(с указанием начальной и конечной точек пути интегрирования или их координат, без указания самого пути, который выбирается произвольно).
22. Отыскание потенциальной функции
Пусть поле потенциально.
Его потенциальную функцию можно найти по формуле
где С - произвольная постоянная.
23. Формула Ньютона-Лейбница для линейного интеграла
Если известна потенциальная функция , то линейный интеграл в потенциальном полеможно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница,
т.е. линейный интеграл в потенциальном поле равен разности значений потенциальной функции в конечной и начальной точках пути интегрирования.
24. Механический смысл формулы Ньютона-Лейбница
Если - потенциальное силовое поле, то значение потенциальной функции в какой-либо точке, взятое с противоположным знаком, называют потенциалом поля в этой точке.
В соответствии с механическим смыслом линейного интеграла (пункт 16) формула Ньютона-Лейбница истолковывается следующим образом:
Работа, совершаемая силами потенциального поля при перемещении материальной точки по некоторому пути, равна разности потенциалов в начальной и конечной точках пути и не зависит от формы пути.
II. Образец выполнения контрольной работы
1. Вычислить двойной интеграл , где областьD ограничена линиями х=0, у=х, у=4-х. Изобразить область D.
РЕШЕНИЕ. Используя формулу вычисления двойного интеграла.
получим
2. Используя тройной интеграл, найти объем тела W, расположенного в первом октанте и ограниченного поверхностями z = 1- х/2 и у= 1 – х2 совместно с координатными плоскостями. Изобразить тело W и его проекцию D на плоскость х, у.
РЕШЕНИЕ.
Уравнение z = 1- х/2 на плоскости z, х определяет прямую линию, а в пространстве - плоскость, проходящую через эту линию и параллельную оси у.
Уравнение у= 1 – х2 на плоскости х, у определяет параболу, а в пространстве - цилиндрическую поверхность - цилиндрическую поверхность, проходящую через эту параболу и параллельную оси z.
Оставив от цилиндрической поверхности лишь часть, расположенную под плоскостью, изобразим тело W.
Используя формулу вычисления тройного интеграла
,
получим
3. Дано: 1) вертикальное поле ;
2) плоскости (р) и у= 12 (q), совместно с координатными плоскостями ограничивающие тело W.
Для поля найти:
1) поток через кусок поверхности тела W, принадлежащий плоскости р в направлении внешней нормали;
2) поток через полную поверхность σ тела W в направлении внешней нормали (использовать формулу Остроградского);
3) линейный интеграл вдоль ребра АВ тела W, расположенного на линии пересечения плоскостей р и q. Ребро проходится в направлении убывания координаты х;
4) циркуляцию вдоль контура λ, ограничивающего кусок . Конур обходится против часовой стрелки, если смотреть сверху. (использовать формулу Стокса).
Сделать рисунок.
РЕШЕНИЕ.
1)
2)
По формуле Остроградского
3) общие уравнения прямой АВ будут
Положим х = t и получим параметрические уравнения х = t, y=12, z = 10 – t.
Тогда А получается при t = 10, точка В - при t = 0.
В соответствии с формулой вычисления линейного интеграла
имеем
4)
Применим формулу Стокса, взяв кусок в качестве поверхности, натянутой на контур λ.
4. Дано векторное поле
Нужно:
1) убедиться, что потенциально;
2) найти потенциальную функцию (используя линейный интеграл);
3) сделать проверку;
4) используя потенциальную функцию, найти линейный интеграл .
РЕШЕНИЕ:
Следовательно, поле потенциально.
2)
В качестве пути интегрирования возьмем изображенную на рисунке ломаную линию
Параметрические уравнения горизонтального участка будут , причем точка (0,0) получается приt = 0, а точка (х,0) при t = x.
Параметрические уравнения вертикального участка будут , причем точка (х,0) получается приt = 0, а точка (х, у) при t = y.
3) проверка
, .
4) .