Признак Лейбница.
Ряд а1– а2+ а3–а4+ ...+ (-1)п+1ап+...... , где все числа а1, а2, а3,
......., ап ,..... положительны, называются знакочередующимся..
ТЕОРЕМА (признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда):
Если абсолютная величина общего члена ап стремится к нулю и монотонно убывает, то ряд сходится.
Пример. Исследовать сходимость ряда
1 – ½ + 1/3 – ¼ + .....+ (-1)п+1/п + .....
Решение.
Ап
= 1/п монотонно убывает с ростом п и
(1/п)
= 0 
ряд
сходится.
Оценка погрешности приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда.
Сумма всякого сходящегося ряда можно приближенно с любой степенью точности вычислить, заменив ее частичной суммой с достаточной большим номером (S ≈ Sп). При этом возникает вопрос об оценке погрешности.
Для ряда, удовлетворяющего условиям признака Лейбница, справедливо утверждение:
Погрешность меньше абсолютной величины первого отброшенного члена.
(| S – S | < ап+1).
Пример. Для ряда, сходимость которого установлена в предыдущем пункте, найти сумму с точностью до 0,1,.
Решение:
S = 1 – ½ + 1/3 –..... + 1/9 – 1/10 +.....≈ 1 – ½ + 1/3 –.....+ 1/9 ≈ 1 – 0,5 + 0,333 – 0,25 + 0,2 – 0,167 + 0,143 – 0,125 + 0,111 ≈ 0,7.
1,2. Степенные ряды. Область сходимости функционального ряда.
Ряд f1(х) + f2(х) + f3(х) + .......+ fп(х) + ....., членами которого являются функции, называется функциональным.
Если вместо переменной х подставить какое-либо конкретное значение, то все функции fп(х) примут определенные числовые значения и ряд превратится в числовой. Подставляя вместо х разные числа, получим разные числовые ряды. Часть из них будут сходящимися, другие – расходящимися. Отсюда получаем определение: множество значений х, при подстановке которых в функциональный ряд получается сходящиеся числовые ряды, называется его областью сходимости.
Получающиеся при различных значениях х, взятых из области сходимости, числовые ряды будут различными и , значит, будут иметь различные суммы. Таким образом, сумма функционального ряда есть функция от х.
Степенной ряд.
Функциональный ряд вида а0+ а1х + а2х2+ а3х3+ ....+ апхп+ ап+1 хп+1+.
называется степенным.
(а0, а1, а2, ........, ап, .......... – постоянные коэффициенты).
Число
R = 
|ап/ап+1
|
называется радиусом сходимости.
ТЕОРЕМА. Область сходимости степенного ряда состоит из интервала сходимости, -R < x < R и, может быть, одного или обоих его концов.
Пример на отыскание области сходимости см. в разделе «Образец решения контрольной работы», задача 1.26.
Ряд Маклорена.
Разложить данную функцию в степенной ряд – это, значит, найти такой степенной ряд, сумма которого совпадает с данной функцией во всех точках области сходимости.
В степенной ряд раскладывается не каждая функция. Но для всех практически важных функций, с которыми мы будем иметь дело, справедливо утверждение: если f (х) определена при х = 0 и имеет в этой точке производные любого порядка, то разложение возможно и имеет ряда Маклорена:
f
(х) = f (0) + f'(0)х
+ 
х2
+ 
х3
+
+
п! – читается «эн-факториал»; по определению;
п! = 1 * 2 * 3 * 4*.....* (п – 1) * п).
Пример. Разложить в ряд Маклорена функцию: f (х) = ln (1 + х)1
Решение.
F' (х) = 1/ (1 + х) = (1 + х)-1; f"(х) = - (1 + х)-2 ;
f"'(х) = 2 (1+ х)-3, f""(х) = - 2 * 3(1 + х)-4;
f5 (х) = 2 * 3 * 4 (1 + х)-5, .......
подставим х = 0:
f (0) = ln (1+ 0) = 0, f' (0) = (1+ 0)-1 = 1,
f"(0) = -1, f"'(0) = 2, f""(0) = - 2 * 3, f5 (0) = 2 * 3 * 4,..........
Ряд
имеет вид ln (1+ х) = 0 + 1 * х - 
х2
+ 
х3
- 
х4
+ 
х5
– или ln (1+ х) = х1
– х2/2
+ х3/3
– х4/4
+ х5/5
- ...........
Интервал сходимости: -1 < x < 1.