Статистическое определение вероятности.

Для многих событий невозможно подсчитать вероятность классическим способом. Например, вероятность попадания в цель при выстреле. Однако наблюдения показывают, что и для таких событий относительная частота обладает свойством устойчивости: в разных сериях из будущего числа испытаний относительные частоты приблизительно одинаковы. Значит, существует число, около которого они группируются. Отсюда получаем статистическое определение вероятности.

Число, около которого группируется относительные частоты события, соответствующие разным сериям из большого числа испытаний, называется вероятностью этого события. Точно узнать это число невозможно. Приближенно его можно заменить относительной частотой при большом числе испытаний.

Сложение вероятностей.

В этом и следующих заголовках приведены теоремы, позволяющие по известным вероятностям «простых» событий вычислять вероятности более сложных событий.

Суммой А + В событий А и В называются событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Если событие А и В несовместны (т.е. не могут появится вместе в одном испытании), то их суммой будет появление одного из них, все равно какого.

Например, в ящике несколько красных, зеленых и бесцветных шаров. Наугад вынимают шар. Назовем событие А появление красного шара, событием В – зеленого. Тогда событием А + В будет появление любого цветного шара.

Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Р (А + В) = Р(А) + Р(В).

Пример. Мишень состоит из круга и охватывающего его кольца. Вероятность попасть в круг равна 0,2; в кольцо – 0,3. Найти вероятность поражения мишени.

Решение. Обозначим события: А – попадение в круг, В – попадение в кольцо. Поражение мишени – это событие А +В.

Р (А + В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,3 = 0,5.

Противоположные события.

Два не совместных события называются противоположными, если в результате испытания какое-нибудь из них обязательно проявляется.

Событие, противоположное событию А, обозначается .

Например, А- попадение в цель, - промах.

Теорема (свойство противоположных событий). Вероятности противоположных событий а сумме составляют единицу.

Р (А) + Р() = 1

Пример. Вероятность попадания в цель равна 0,8. Найти вероятность промаха.

Решение. 1 – 0,8 = 0,2.

Умножение вероятности.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в появлении вместе.

Например. Если а- деталь годная, В – деталь окрашенная, то АВ – деталь и годная и окрашена.

События А и В называются НЕЗАВИСИМЫМИ, если появление или непоявление одного из них никак не отражается на появлении или непоявлении другого.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.

Р (АВ) = Р(А) * Р(В).

Пример использование теоремы см. в разделе «Образец решения контрольной работы», задача 3.26, а.

2.2. Случайные величины. Закон распределения дискретной, случайной величины.

Если для некоторой величины нельзя с точностью предсказать, какое значение она примет в результате испытания, то она называется СЛУЧАЙНОЙ.

Например, испытание – подбрасывание игральной кости, число выпадающих очков – случайная величина.

Случайные величины обозначаются прописными буквами Х, У, Z, ...., а принимаемые ими значения – соответствующими строчными буквами.

Если возможные значения случайной величины отделены одно от другого промежутками, то она называется ДИСКРЕТНОЙ. Например, число очков, выпадающих при подбрасывании игральной кости, - есть дискретная величина.

Закон распределение дискретной величины есть перечень всех ее возможных значений вместе с вероятностями их появления. Он оформляется в виде таблицы.

Х	х1 х2 ...........хm
Р	р1 р2 ...........рm

В верхней строке записывается значения случайной величины, в нижней – соответствующие вероятности.

Пример. В лотерее на каждые 100 билетов разыгрывается один выигрыш в 50 рублей и 10 выигрышей в 1 рубль. Составить закон распределения случайной величины Х – стоимости возможного выигрыша для владельца одного билета.

Решение.

Х	0 1 50
Р	89/100 10/100 1/100