11.1.5. Лекция 5. Тема. Энергетические соотношения при управлении, оптимальном по быстродействию.

Задача поиска оптимальных законов управления для конкретных объектов.

Работа объекта управления при определенном, например номинальном, режиме возможна только тогда, когда энергия, запасенная в нем, соответствует этому режиму. Например, работа двигателя с постоянной скоростью w=w_Hвозможна только тогда, когда кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, соответствует этой скорости. Если такого соответствия нет, то координата системыwбудет изменяться.

Увеличивая подводимую мощность, можно ускорять процесс изменения запасенной энергии в системе и тем самым ускорять изменение управляемых координата до заданного значения. Однако увеличение мощностью ограничено возможностями объекта управления, а также мощностью источника питания. Следовательно, задача состоит в поиске оптимальных законов управления для конкретных объектов.

Пусть объект описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка (например, обмотка возбуждения электрической машины постоянного тока).

Ту+у=ки,

где Т- постоянная времени; к- коэффициент усиления

Решение этого уравнения при скачкообразном измени управляющего воздействия и=и₀*1[t] (рис.2.1.а ) и нулевых начальных условиях имеет вид

y(t)=ku₀(1-e^-i/T).

a ) и

0 t

рис.2.1.

Зависимость у(t) представлена на рис.2.1,б. Можно показать, что заштрихованная площадь S₁пропорционалы на количеству энергии, запасенной в системе. Например, если к источнику напряжения U=U₀подключается электрическая цепьR-L,то

S₁=,

Где i(t)=i(1-e^-i/T). i=U₀/R;T=L/R.

С другой стороны, количество энергии А, запасенной в индуктивности L, равно

A=

Так как, U₀=const,то величина А пропорциональная площадиS₁.При этом площадьS₂пропорциональна полезной работе, совершаемой на активном сопротивленииR.

Форсировка переходного процесса

Форсировку переходного процесса можно получить, увеличивая подводимое напряжение (управляющее воздействие) до U=U_max(рис.2.2,a).Если в момент достижения у=у(точка а) уменьшитьUдоU_0,то управляемая координата у сразу примет установившееся значение у (рис.2.2,б).Это обусловлено тем, что количество энергии, запасенное к моменту времениt₁, равно тому, которое необходимо для работы в установившемся режиме у=у,так как можно доказать, чтоS₃=S₁.По истечении интервалаt₁управление прекратить нельзя, его нужно поддерживать на уровнеU₀чтобы удерживать у=у.

a)

б)

рис.2.2.

В случае, если объект является апериодическим звеном второго порядка (например, электрическая цепь R-L-C),то описанный порядок управления (рис2.3,а ступенчатая функция 1 ) не приводит к равенству площадейS₁ иS₃(рис.2.3,б кривая 2).

а)

б)

рис.2.3.

Можно показать, что при любых параметрах объекта S_3>S₁.

Это приводит к избытку запасенной энергии, а переходной процесс будет происходить с перерегулированием (рис.2.3,б,кривая 1).В случае, если производить переключение несколько ранее, в момент t₂,соответствующий равенствуS₁₌S₃, то при этом координатаy<yпереходной процесс будет продолжаться (рис.2.3,кривая 2).Траектории 1 и 2 не являются оптимальными, хотя обеспечивают большее быстродействие по сравнению с переходным процессом, полученным при отсутствии форсировки (кривая 4).

Управление координатой у можно осуществить и другим путем. Дадим объекту запас энергии несколько больший, чем требуется при режиме y=y.При подходе к (точка а) отнимем этот излишек путем подачи отрицательного управленияU=-U_max.К моменту окончания управления энергия и координата должны быть равны заданным значениям (рис.2.3,кривая 3).При этом переходной процесс является оптимальным и заканчивается за конечное время. Таким образом, для оптимального управления объектом, описываемым дифференциальным уравнением второго порядка, управление должно один раз менять знак.

Теорема об интервалах или (n-1) переключениях.

Продолжая аналогичные рассуждения для объектов, описываемых линейными уравнениями более высокого порядка, придем к выводу: количество смен знака управляющего воздейстия зависит от порядка дифференциального уравнения и равно n-1 ,гдеn-порядок уравнения. Это положение носит название теоремы об интервалах или (n-1) переключениях. Отыскание моментов переключения управлений и является задачей, которую необходимо решить для создания системы, оптимальной по быстродействию.

Заметим, что если характеристическое уравнение системы имеет комплексные корни, то число переключений управления зависит от начальных условий и может быть большим, чем n-1.

Тестовые задания для самоконтроля

1. Работа объекта управления при определенном, например номинальном, режиме возможна только тогда, когда

А) энергия, запасенная в нем, соответствует этому режиму

Б) энергия, запасенная в нем, не соответствует этому режиму

В) энергия, запасенная в нем, больше чем в этом режиме

Г) энергия, запасенная в нем, меньше чем в этом режиме

Д) энергия, запасенная в нем, не равна чем в этом режиме

2. Работа двигателя с постоянной скоростью w=w_Hвозможна только тогда, когда

А) кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, не соответствует этой скорости.

Б) кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, соответствует этой скорости.

В) кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, больше этой скорости.

Г) кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, меньше этой скорости

Д) кинетическая энергия, запасенная в его вращающих массах, не меньше этой скорости

3. Увеличивая подводимую мощность, можно ускорять процесс изменения запасенной энергии в системе и тем самым

А) ускорять изменение управляемых координат.

Б) увеличить изменение управляемых координат

В) уменьшить изменение управляемых координат

Г) ускорять изменение управляемых координат до заданного значения

Д) уменьшить изменение управляемых координат до заданного значения

4. Увеличение подводимой мощности ограничено

А) возможностями объекта управления

Б) мощностью источника питания

В) возможностями объекта управления и мощностью источника питания

Г) все ответы верны

Д) все ответы неверны

5. Отыскание моментов переключения управлений и является задачей, которую необходимо решить

А) для создания системы, оптимальной по быстродействию.

Б) для создания оптимальной системы

В) для создания аддитивной системы

Г) нет правильного ответа

Д) нет не правильного ответа