11.1.7. Лекция 7. Тема Основные методы синтеза оптимальных систем управления

Наиболее широкое распространение получили методы синтеза, использующие классическое вариационное исчисление, динамическое программирование и принцип максимума.

Вариационное исчисление целесообразно применять к задачам, в которых области изменения y(t) иu(t) не содержат ограничений и являются непрерывными, что имеет место при малых отклонениях величинyиuот установившихся состояний.

Метод динамического программирования и принцип максимума применяются, когда области векторов y(t)и u(t) замкнутые, а коэффициенты векторовy(t)и u(t) могут быт кусочно-непрерывными функциями и находится на границах этих областей.

Каждый из упомянутых методов сопровождается различными приемами доведения задачи до численного решения, что во многих случаях, особенно для систем высокого порядка, представляет весьма трудную задачу даже при наличии решения в принципиальном виде.

Синтез оптимальных систем с помощью вариационного исчисления

Фундаментальным понятием вариационного исчисления является функционалv, под которым понимают переменную величину, значение которой определяется выбором одной или нескольких функций. Например, функционаломv является длина кривой l, соединяющей две заданный точки А и В, расположенные на плоскостих0у,так как эта величина определяется выбором функцииу(х), описывающей кривую, проходящую через эти точки, т.е.

Другим примером функционала vможет служит критерий эффективности системыQ, определяемый, частности, выражением (4.1), который зависит от вида функции у(х), описывающей переходные процессы в системе управления:

В общем случае зависимость, характерную для функционалов, можно сформулировать следующим образом: функции у(х) соответствует число v, определяющие значение функции.

Вариационное исчисление изучает методы исследования функционалов на максимум и минимум.

К вариационным задачам , прежде всего, относятся три классические задачи.

1.Задача о брахистохроне (см.пример 4.1)

2.Геодезическая задача, в которой требуется определить линию наименьшей длины l, соединяющую две заданные точки на некоторой поверхности

3.Изопериметрическая задача, в которой требуется найти уравнение замкнутой линии заданной длины L, ограничивающей максимальную площадьS.

Эта вариационная задача была решена еще в Древней Греции: такой замкнутой линией оказалась окружность.

Заметим, что в последних двух задачах экстремум функционала ищется при определенных условиях . Поэтому такие задачи называются задачами наусловный экстремум.

Методы решения вариационных задач весьма сходны с методами исследования функции на максимум и минимум. В частности, если функционал, например, достигает экстремума при у(t)=y_э(t), то вариация функционала ,под которой понимают линейную часть его приращения по отношению к приращению функцииy(t), равна нулю, то есть

Здесь y_э(t) -это функция, принадлежащая к некоторому классу функций, при которой значение функционала Q достигает экстремума.

Именно поэтому функция y_э(t) называется экстремалью функционала

В теории вариационного исчисления доказывается, что если функционал задан в виде

то экстремаль функционала y(t,C₁,C₂), где С₁,С₂- постоянные интегрирование, определяемые из граничных условий y(t₀),y(t₁), является решением уравнения Эйлера:

или (4.5)

Проиллюстрируем методику решения вариационных задач на одном классическом примере.

Тестовые задания для самоконтроля

1.Какие методы используются для синтеза оптимальных систем в управлении?

А) классическое вариационное исчисление

Б) динамическое программирование

В) принцип максимума

Г) все ответы неверны

Д) все ответы верны

2.Вариационное исчисление целесообразно применять к задачам, в которых

А) области изменения y(t) и u(t) не содержат ограничений и являются непрерывными

Б) области изменения y(t) и u(t) содержат ограничений и являются непрерывными

В) области изменения y(t) и u(t) не содержат ограничений и являются непрерывными, что имеет место при малых отклонениях величин y и u от установившихся состояний

Г) области изменения y(t) и u(t) не содержат ограничений

Д) области изменения y(t) и u(t) не содержат ограничений и являются непрерывными ,что имеет место при больших отклонениях величин y и u от установившихся состояний

3.Метод динамического программирования и принцип максимума применяются, когда

А) области векторов y(t) и u(t) замкнутые, а коэффициенты векторов y(t) и u(t) могут быт кусочно-непрерывными функциями и находится на границах этих областей

Б) области векторов y(t) и u(t) замкнутые

В) коэффициенты векторов y(t) и u(t) могут быт кусочно-непрерывными функциями и находится на границах этих областей

Г) коэффициенты векторов y(t) и u(t) могут быт кусочно-непрерывными функциями

Д) области векторов y(t) и u(t) не замкнутые

4. Фундаментальным понятием вариационного исчисления является

А) функционал v, под которым понимают переменную величину, значение которой определяется выбором только одной функций.

Б) функционал v, под которым понимают переменную величину, значение которой определяется выбором одной или нескольких функций

В) функционал v, под которым понимают величину, значение которой определяется выбором одной или нескольких функций

Г) функционал v, под которым понимают постоянную величину, значение которой определяется выбором одной или нескольких функций

Д) функционал v, под которым понимают постоянную величину, значение которой определяется выбором одной функций

5. Функционалом v в вариационном исчислении может является

А) длина кривой l, соединяющей две заданный точки А и В, расположенные на плоскости х0у, так как эта величина определяется выбором функции у(х), описывающей кривую, проходящую через эти точки.

Б)длина прямой l, соединяющей две заданный точки А и В, расположенные на плоскости х0у,

В)длина прямой l, соединяющей две заданный точки А и В, расположенные на плоскости х0у, так как эта величина определяется выбором функции у(х), описывающей прямую, проходящую через эти точки.

Г)длина кривой l, не соединяющей две заданный точки А и В, расположенные на плоскости х0у,.

Д) нет правильного ответа