Вопрос 10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции с векторами.

Скалярные величины - величины, которые определяются только числовыми значениями. Например: масса, площадь, длина отрезка, температура.

Если величина, кроме числового значения характеризуется еще и направлением, то она называется векторной величиной или просто вектором. Например: сила, скорость, ускорение. Следовательно, вектор полностью определяется числом и направлением. Геометрически вектор изображают отрезком, длина которого соответствует его числовому значению, а для указания направления используют стрелку.

В

А

Обозначают вектор гдеА – начало вектора, В – конец вектора, или просто . Заметим, что т. к. длина отрезка соответствует числовому значению вектора, то это числовое значение наз-ютдлиной или модулем вектора и обозначают или .

Два вектора будем называть равными, если они имеют одно и то же направление и одинаковую длину. Вектор называется противоположным вектору . = В этом случае пишут = – .

Нулевым вектором наз-ся век-р, начало и конец кот-го совпадают. Его обозначают . Заметим, что модуль нулевого вектора равен 0, а направление не определено.

Единичный вектор - вектор, длина кот-го = единице.

2 Век-ра наз-ют коллинеарными , если онт лежат на одной и той же прямой , или -х прямых

Векторы ‖-ые одной и той же плоскости, наз. компланарными.

Одним из самых важных св-в вектора явл-ся то, что его можно перемещать‖-но самому себе в любую точку плоскости или пространства. (Поэтому коллинеарные векторы всегда можно перенести на одну прямую, а компланарные на одну плоскость).

Углом = ( , ) между векторами и называется угол при вершине в Δ, где = = .

В

Следовательно, 0 ≤ ≤

А С

_^

Два вектора и считаются ортогональными (перпендикулярными), если . (,) =.Обозначают .В частности , где – любой вектор.

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.

1. Суммой векторов и называют третий вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора при условии, что вектор отложен из конца вектора . Вектор получается по правилу треугольника или параллелограмма.

Свойства суммы

1) а + в = в + а,

2) (а + в)+ с = а + (в + с),

3) а + о = а, а + (- а)= о.

Если складываются более двух векторов, то сумма определяется по правилу замыкающей.

с = а₁ + а₂ +...+ а_n .

2) Разностью двух векторов а и в наз-ся такой вектор d , который в сумме с векторами в дает вектор а .

а - в = d, если в + d = а.

Чтобы получить разность а - в двух векторов а и в , необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого.