13. Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

• вектор ортогонален каждому из векторов и 

• вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

• в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .

Обозначение:

В литературе^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное.

14. Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.

Сме́шанное произведе́ние векторов  — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

• Смешанное произведение в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

• Смешанное произведение в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов и, взятому со знаком "минус":

В частности,

• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

• Геометрический смысл — Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами и ; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

15. Уравнение прямой (на плоскости), уравнение плоскости, заданных точкой и нормальным вектором.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка

Ах + Ву + С = 0,

причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. 

В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

•  C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

•  А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

•  В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

•  В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

•  А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

Общее уравнение плоскости  Ах+Ву+Сz+D=0

где - нормальный вектор плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

11) z = 0 - плоскость Oxy;

12) y = 0 - плоскость Oxz;

13) x = 0 - плоскость Oyz.

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору