19. Уравнение прямой на плоскости и в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

По аналогии с пунктом, рассматривающим уравнение прямой через вектор нормали можно ввести задание прямой через точку и направляющий вектор прямой.

Каждый ненулевой вектор ( α₁ , α₂ ), компоненты которого удовлетворяют условию А α₁ + В α₂ = 0 называется направляющим вектором прямой

Ах + Ву + С = 0.

Пример. Найти уравнение прямой с направляющим вектором (1, -1) и проходящей через точку А(1, 2).

Уравнение искомой прямой будем искать в виде: Ax + By + C = 0. В соответствии с определением, коэффициенты должны удовлетворять условиям:

1 * A + (-1) * B = 0, т.е. А = В.

Тогда уравнение прямой имеет вид: Ax + Ay + C = 0, или x + y + C / A = 0.

при х = 1, у = 2 получаем С/ A = -3, т.е. искомое уравнение:

х + у - 3 = 0

Уравнение прямой в пространстве, заданной точкой M0 и направляющим вектором p→ M0(x0,y0,z0)−  точка; p→(p1,p2,p3)−  направляющий вектор;

d[M0,p→]−? 

Берем произвольную точку M(x,y,z), для того чтобы она принадлежала нашей прямой d необходимо и достаточно, чтобы −−−−−−→M0M∣∣p→ , поэтому: если p1/=0 ; p2/=0 ; p3/=0 , то уравнение прямой в пространстве будет:

p1x−x0=p2y−y0=p3z−z0;

если p1/=0 ; p2/=0 ; p3=0, то уравнение прямой в пространстве будет:

p1x−x0=p2y−y0;z−z0=0;

если p1=0; p2=0; p3/=0 , то уравнение прямой в пространстве будет:

x−x0=0;y−y0=0; 

20. Уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки

Используя векторы

и

в качестве направляющих векторов плоскости, составим уравнение вида (4.18): которое называется уравнением плоскости, проходящей через три заданные точки.

21. Расстояние от точки до прямой и от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости --- это наименьшее из расстояний между этой точкой и точками плоскости. Известно, что расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Если плоскость задана уравнением , то расстояние от точки до этой плоскости можно вычислить по формуле .

Расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле

Правило. Чтобы определить расстояние точки A(x₁, y₁) до прямой Ax + By + C = 0, нужно привести уравнение прямой к нормальному виду, взять левую часть полученного уравнения и подставить в нее вместо текущих координат координаты данной точки. Абсолютная величина полученного числа и даст искомое расстояние:

Расстояние от точки до прямой есть всегда величина положительная. Кроме расстояния от точки до прямой, рассматривается еще так называемое отклонение точки от прямой.

Отклонение данной точки от данной прямой есть расстояние от этой точки до прямой, которому приписывается знак плюс, если точка и начало координат находятся по разные стороны от прямой, и знак минус, если точка и начало координат находятся по одну сторону от прямой.

Расстояние от точки до прямой есть абсолютная величина отклонения этой точки от прямой.